例8设n阶可逆阵A的每行元素之和均为a(a≠0),求2A +3E的一个特征值及对应的特征向量 解由题设知A.=.,所以a为A的一个特征值且a≠0 2 从而+3为2A1+3E的一个特征值,对应的特征向量为
3 . 8 2 )0( 1 的一个特征值及对应的特征向量 设例 阶可逆阵 的每行元素之和均为 ，求 E n A aa A + ≠ − . 1 1 1 32 3 2 ,0 1 1 1 1 1 1 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ + + ≠ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ − M MM 从而 为 的一个特征值，对应的特征向量为 解 由题设知 ，所以 为 的一个特征值且 EA a aA Aa a
122 例9设A=2-1-21,求:A,A*及E+A的特征值 2-2 解因为A-EF=-(4-1)2(4+5),所以A的特征值为-51,1 且|A=-5,从而A*的特征值为1,-5,-5;E+A的特征值为 例0设有4阶方阵A满足|3E+A|=0,A42=2EAk0, 求:A*的一个特征值. 解由于3E+AHA-(-3)E=0知-3是A的一个特征值, 又A4=2E,故|AP2=24=16,因为|Ak0,所以|A|=-4
. *, 122 212 221 9 设例 ，求： 及 + −1的特征值 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− − A = AEAA .2,2, 5 4 * 5|| 5,5,1 )5()1(|| 1,1,5 1 2 且 ，从而 的特征值为 ； 的特征值为 解 因为 ，所以 的特征值为 − −= +−− +−−=− − A A AE EA λλλ A * . 0||,2,0|3| 4 10 求： 的一个特征值 例 设有 阶方阵 满足 ， A AEAAAEA T <==+ 又 ，故 ，因为 ，所以 ， 由于解 是知 的一个特征值， 4|| 0||162||2 3 0|)3(||3| 42 = == < −= + = − − = − AEAA A A EAAE A T
从而是A*的一个特征值 21 例1设a=(1k)y是A=121的逆A的特征向量,求k 解设a是A的属于特征值42的特征向量,即Aa=42a, 也即Aa=-a,因为A的特征值为114,故有Aa=a或Aa=4a 当Aa=a时,有121k=k,解得k=-2
* . 3 4 从而 是 A 的一个特征值 . 211 121 112 )1,,1( 11 1 Ak A k 设例 T 是 的逆 − 的特征向量，求 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α = = 4,1,1 .4 1 0 0 1 0 1 α αααα λ α α λ αλα = == = − − A A AA A A 也即 ，因为 的特征值为 ，故有 或 是设解 的属于特征值 的特征向量，即 ， .2 1 1 1 1 211 121 112 −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 当 A =αα 时，有 ，解得 kkk
当Aa=4a时,有121k=4k,解得k=1 所以k=-2或k=1 例2设a=(1,a2;…,anB=(1,b2,…b)且aB=0,记 A=aB,求A的特征值和特征向量 解由A=aB,得A2=aBaB=a(Ba),因为 aB=0,所以x=0,故A2=0 设λ是A的任一特征值,α为对应的特征向量,即Aa=Aa, 则2为A2=0的特征值且A2a=2a,因为a≠0,所以x=0, 从而4=0,即A的特征值全为0
.1 1 1 4 1 1 211 121 112 4 = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ 当 A = αα 时，有 ，解得 kkk 所以 = − 或 kk = .1 2 . 2 2 0 ),,,1(),,,,1( 12 ，求 的特征值和特征向量 设例 且 ，记 A A bbaa T T n n βα α β αβ = = L = L = .0 0 0 )( 2 2 = = = = = = A A A T T T TT TT ，所以 ，故 由解 ，得 ，因为 αβ βα βα ββααββαα 0 .0 0 0 0 22 22 2 从而 ，即 的特征值全为 为则 的特征值且 ，因为 ，所以 ， 是设 的任一特征值， 为对应的特征向量，即 ， A A A A A = = = ≠ = = λ λ ααλα λ λ α λαα