OOA一、二阶常系数齐次线性微分方程+pr+q=0.当D=p2-4q<0时，特征方程有一对共轭复根，特征值为ri，=α±bi.这时微分（3方程y+pye+gy=0有两个复数形式的线性无关解：J =e(a+bi) =e"xebix, J, =e(a-bix=e'*xe-bix.我们希望能得到实值函数形式的解，根据欧拉公式ei"=cosq+isinq，上述复数特解可改写为J=e"*(cosbx+isinbx),y,=e""(cosbx-isinbx)中由定理6.1知，取eaxsinbx，则xcosbx.y2y,=ey与y,是原方程的两个线性无关的特解.因此，方程y+pye+qy=0的通解为y=ea*(C, cos b x +C, sinbx)
一、二阶常系数齐次线性微分方程 6 （3 ）
OA0一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程y$+py&+gy=0的通解的求解过程如下：将原方程化为标准形式：y+pye+qy=0.写出y$+pye+qy=0的特征方程r2+pr+q=0，求得特征根ri，r(2按照下表得到y+pye+qy=0的通解(3ya+pye+gy=o的特征根y+pye+qy=0的通解两个不等的实根r两个相等的实根=r=rDLL两个共轭复根i3=αiB
一、二阶常系数齐次线性微分方程 7 （1 ） （2 ） （3 ）
01OO00阶常系数齐次线性微分方程例求解下列微分方程： 1 )y&-3ye- 4y=0; ( 2 Ay&- 4ye+y=0; （ 3 )y-4ye+5y=0解（1）原方程的特征方程为r22-3r-4=0，特征根=4，r1,因此原方程的通解为=C,e4*+C,e×（2）原方程可化简为-+=0特征方程为r2-r+特征根为i=2=,因此原方程的通解为y=(C,+C,x)e2（3）原方程的特征方程为r2-4r+5=0特征根为r=2+i，'r2=2-i，因此原方程的通解为y=e2*(C,cosx+C,sinx).X
1 例 解 求解下列微分方程： （1）原方程的特征方程为 ，特征根 为 ，因此原方程的通解为 （2）原方程可化简为 ， 特征方程为 ， 特征根为 ，因此原方程的通解为 （3）原方程的特征方程为 ， ，因此原方程的通解为 特征根为 01 二阶常系数齐次线性微分方程 8
02OA阶常系数齐次线性微分方程7例求微分方程-4y=0的通解2特征方程为 r2-4r=0解?r(r- 4)=0即特征根为r=0,r=4，方程的通解为y=G+Ce4xC
2 例 解 02 二阶常系数齐次线性微分方程 9 求微分方程 的通解 . 特征方程为 即 特征根为 ，方程的通解 为
02A阶常系数齐次线性微分方程一例求微分方程+y-2y=0的通解3特征方程为r2+r-2=0解即 (r +2)(r - 1)=0特征根为r=1,r=-2，方程的通解为y=C,e* +C,e-2x
3 例 解 02 二阶常系数齐次线性微分方程 10 求微分方程 的通解 . 特征方程为 即 特征根为 ，方程的通解 为