《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-2方阵的特征值与特征向量

S5.2方阵的特征值与特征向量方阵的特征值，最早是由Laplace在19世纪为研究天体力学、地球力学而引进的一个物理概念.这一概念不仅在理论上极为重要，在科学技术领域里，它的应用也很广泛.事实上，在讨论振动问题（如机械振动、弹性体振动、电磁波震荡）、天体运行问题及现代控制理论中，都涉及到特征值问题一、矩阵的特征值定义1设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零向量，使得Ax=2x(5-1)成立，则称数几是方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于（或属于特征值入的特征向量，下面给出特征值与特征向量的求法.将（5-1）改写成(5-2)(A-NE)x=0这是含有n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式[A- E| = 0即au-元ai2..aina22-元...a21a2n=0............amn-2anlan2上式是以入为未知量的一元n次方程，称之为方阵A的特征方程.左端是入的n次多项式，称之为方阵A的特征多项式，记作f(2).即[an-n..ai2aina22-元...a2na21f(2) =[A-E|=..........an...amn-an2方阵A的特征值就是其特征多项式的根，由方程的理论容易知道，特征方程在复数范围内恒有解，解的个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A

§5.2 方阵的特征值与特征向量 方阵的特征值，最早是由 Laplace 在 19 世纪为研究天体力学、地球力学而引 进的一个物理概念.这一概念不仅在理论上极为重要，在科学技术领域里，它的 应用也很广泛.事实上，在讨论振动问题（如机械振动、弹性体振动、电磁波震 荡）、天体运行问题及现代控制理论中，都涉及到特征值问题. 一、矩阵的特征值 定义 1 设 A 是 n 阶方阵，如果存在数  和 n 维非零向量,使得 Ax  x （5-1） 成立，则称数  是方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于(或属于)特征值  的特征向量. 下面给出特征值与特征向量的求法. 将（5-1）改写成 (A E)x  0 (5-2) 这是含有 n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数矩阵的行列 式 A E  0 即              n n n n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =0 上式是以  为未知量的一元 n 次方程，称之为方阵 A 的特征方程.左端是  的 n 次 多项式，称之为方阵 A 的特征多项式，记作 () A f .即 () A f  A E               n n n n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 . 方阵 A 的特征值就是其特征多项式的根，由方程的理论容易知道，特征方程在复 数范围内恒有解，解的个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n 阶方阵 A

在复数范围内有n个特征值（重根按重数计算）.此外，A的属于特征值入。的特征向量就是齐次线性方程组（A-2E)x=0的所有非零解，它们有无限多个。由此可知，矩阵A的每个特征向量只能属于一个特征值，而每个特征值却可以对应无穷多个特征向量.矩阵A的属于特征值的所有特征向量再加上零向量构成一个向量空间，此向量空间称为矩阵A的属于特征值2。的特征子空间求n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：第一步：计算矩阵A的特征多项式A-aE：第二步：解方程A-E=0，求出A的全部不同的特征值,，,；第三步：对A的每个特征值^,(i=1,2,",r)，求出相应齐次线性方程组(A-2,E)x=0的一个基础解系51,52，,5i，于是矩阵A的属于入,的全部特征向量可以表示为k5i+k252+.+k,51,其中k,kz,",k,是不全为零的常数例1求方阵[ ]的特征值和特征向量解A的特征多项式为()=14-1=-1 3-)- (4-2)(2-±),1-13-a所以A的特征值为元,=2，2=4.将元=2代入方程（A-E)x=0，得3-2 -11×=|%-1 3-2求得一个基础解系

在复数范围内有 n 个特征值（重根按重数计算）.此外, A 的属于特征值 0 的特征 向量就是齐次线性方程组 (A 0E)x  0 的所有非零解，它们有无限多个. 由此可知，矩阵 A 的每个特征向量只能属于一个特征值，而每个特征值却可 以对应无穷多个特征向量.矩阵 A 的属于特征值 0 的所有特征向量再加上零向 量构成一个向量空间，此向量空间称为矩阵 A 的属于特征值 0 的特征子空间. 求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤为： 第一步：计算矩阵 A 的特征多项式 A E ； 第二步：解方程 A E  0 ，求出 A 的全部不同的特征值   r , , , 1 2  ； 第三步：对 A 的每个特征值 (i 1,2, ,r) i   ，求出相应齐次线性方程组 (A iE)x  0 的一个基础解系    l , , , 1 2  ，于是矩阵 A 的属于 i 的全部特征向量可以表示为 l l k1 1  k2 2  k  , 其中 l k , k , , k 1 2  是不全为零的常数. 例 1 求方阵 A =         1 3 3 1 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 f ()＝| A - E |＝       1 3 3 1 ＝（４- ）（２－  ）， 所以 A 的特征值为 1 ＝２， 2 ＝４. 将 1 ＝２代入方程 (A E)x  0 ，得           1 3 2 3 2 1       2 1 x x ＝       0 0 求得一个基础解系

p它就是对应于,=2的一个特征向量，而kp(k+0)是对应于2,=2的全部特征向量.将=4代入方程（A-E）x=0，得[-1 ]18求得一个基础解系它就是对应于,=4的一个特征向量，而kp,(k±0)是对应于2,=2的全部特征向量.例2求方阵[-110-4 304:021的特征值和特征向量解A的特征多项式为-1-1-4113-元0f()=| A-E |=(2-元) (1-2)2.002-元所以A的特征值为=2，==1，将=2代入方程（A-E）x=0，得-3104.00.1解之得一个基础解系

1 p ＝       1 1 . 它就是对应于 1 ＝２的一个特征向量，而 ( 0) kp1 k  是对应于 1 ＝２的全部 特征向量. 将 2 ＝４代入方程（ A -E ） x =0，得           1 3 4 3 4 1       2 1 x x ＝       0 0 求得一个基础解系 2 p ＝       1 1 . 它就是对应于 2 ＝４的一个特征向量，而 ( 0) kp2 k  是对应于 1 ＝２的全部特征 向量. 例２ 求方阵 A =             1 0 2 4 3 0 1 1 0 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 f ()＝| A- E |＝         0 0 2 1 3 0 1 4 1 ＝（ 2   ） 2 (1 ) . 所以 A 的特征值为 1 ＝２， 2＝3 ＝１. 将 1 ＝２代入方程（ A -E ） x =0，得             1 0 0 4 1 0 3 1 0           3 2 1 x x x ＝           0 0 0 . 解之得一个基础解系

[o]0p, =[1它就是对应于,=2的一个特征向量，而kp(k≠0)是对应于,=2的全部特征向量.将入=1代入方程（A-E）X=0，得-21024.01010求得一个基础解系为P2它就是对应于,==1的一个特征向量，而kp(k0)是对应于,==1的全部特征向量，例3求方阵[-211]020-4 1 3]的特征值和特征向量解A的特征多项式为-2-元0-412-元1f()= A-E |=(2+1)(2-2)2103-2所以A的特征值为2=-1，2，=元,=2将,=-1代入方程（A-E)x=0，得-L3 00X14解之得一个基础解系为

1 p ＝           1 0 0 . 它就是对应于 1 ＝２的一个特征向量，而 ( 0) kp1 k  是对应于 1 ＝２的全部特征 向量. 将 2＝3 ＝１代入方程（ A -E ） x =0，得             1 0 1 4 2 0 2 1 0           3 2 1 x x x ＝           0 0 0 . 求得一个基础解系为 2 p ＝           1 2 1 . 它就是对应于 2＝3 ＝１的一个特征向量，而 ( 0) kp2 k  是对应于 2 ＝3 ＝１ 的全部特征向量. 例３ 求方阵 A =             4 1 3 0 2 0 2 1 1 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 f ()＝| A- E |＝         1 0 3 1 2 1 2 0 4 ＝－（  ＋１） 2 (  2) . 所以 A 的特征值为 1＝-１， 2＝3 ＝２. 将 1＝-１代入方程 (A E)x  0 ，得             4 1 4 0 3 0 1 1 1           3 2 1 x x x =           0 0 0 . 解之得一个基础解系为

1IP,=]它就是对应于,=-1的一个特征向量，而kp（k≠0)是对应于=-1的全部特征向量.将=入=2代入方程（A-ΛE)x=0，得-4 11000-4 1 O解之得一个基础解系为[10OP2 =P,=1[4]-1P2、ps就是对应于==2的特征向量，而kPz+P（kz，k,不同时为零）是对应于2,=,=2的全部特征向量例4假定A是幂等方阵，即A=A.试证A的特征值只有1或0.证设入是A的特征值，p是A的属于元的特征向量，则Ap=ap,于是A p= A(AP)= A(p) = a(Ap)= p,而=A，因此，p=p，即（2-)=0，又0，故-=0，所以=1或几=0.二、特征值与特征向量的性质性质1（特征值与A的元素的关系）设n阶方阵A=(a,）的特征值为，，·元，由多项式的根与系数之间的关系，有(1)2,+M+..+,=a+a22+..+am;

1 p ＝           1 0 1 . 它就是对应于 1＝-１的一个特征向量，而 1 kp ( k ≠0)是对应于 1＝-1 的全部特 征向量. 将 2＝3 ＝２代入方程 (A E)x  0 ，得             4 1 1 0 0 0 4 1 1           3 2 1 x x x =           0 0 0 . 解之得一个基础解系为 2 p ＝           1 1 0 ， 3 p ＝           4 0 1 . 2 p 、 3 p 就是对应于 2＝3 ＝２的特征向量，而 2 k 2 p + 3 k 3 p （ 2 k ， 3 k 不同时为 零）是对应于 2＝3 ＝２的全部特征向量. 例 4 假定 A 是幂等方阵，即 2 A = A .试证 A 的特征值只有 1 或 0. 证 设  是 A 的特征值， p 是 A 的属于  的特征向量，则 A p = p ， 于是 A p A AP A p Ap p 2 2  ( )  ( )  ( )   , 而 2 A = A ，因此，  p  p 2 ，即 ( ) 0 2    p  ，又 p  0，故 2  - =0，所以  =1 或  =0. 二、特征值与特征向量的性质 性质 1(特征值与 A 的元素的关系) 设 n 阶方阵 ( ) A  aij 的特征值为 1 ， 2 ,···n ，由多项式的根与系数之间的关系，有 (1) 1  2  n  a11  a22  an n ；