教学课型：理论课实验课习题课口第1-1节实践课口技能课口其它主要教学内容（注明：*重点#难点）：行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念重点：三阶、n阶行列式的定义难点：n阶行列式的定义及等价定义教学目的要求：（1）掌握行列式、余子式、代数余子式等概念（2）掌握三阶、n阶行列式的定义（3）了解行列式的等价定义，教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社
第 1-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念. 重点： 三阶、 n 阶行列式的定义. 难点： n 阶行列式的定义及等价定义. 教学目的要求： （1）掌握行列式、余子式、代数余子式等概念. （2）掌握三阶、 n 阶行列式的定义. （3）了解行列式的等价定义. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
第一章n阶行列式行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式来解一类特殊线性方程的克莱姆法则，s1n阶行列式的概念一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组ax,+a2x=ba2ix+a22x2=b中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当αuia22-ai221+0时，即a+a12,a21a22亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为b,a22 -bza12,X=a,a22-a2a21bzari-ba2,X2 =aa22-ai221我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值，我们称记号[a1 a12a21a22为二阶行列式，它表示数值aia22-ai2a21，即[aa12= (aiia22-a221.[a21 a22]行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数a（i=1,2；j=1,2）称为行列式的元素，i为行标，j为列标我们可以用消元法来求解三元一次方程组
第一章 n 阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍 n 阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式 来解一类特殊线性方程的克莱姆法则. §1 n 阶行列式的概念 一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当 a11a22 a12a21 0 时， 即 22 12 21 11 a a a a ， 亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为 ， ， 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x 我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值.我们称记号 21 22 11 12 a a a a 为二阶行列式，它表示数值 a11a22 a12a21 ,即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a . 行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数 aij （ i 1,2； j 1,2）称为行列 式的元素， i 为行标， j 为列标. 我们可以用消元法来求解三元一次方程组
a+a2x2+ai=bi,a2ij +a22x2 +a23 =b2,a3x,+a32x2+a3=bg,类似地，可以引进三阶行列式的概念：我们称记号a12a3a21a22a23a31a32a33为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值：aiia2233+aia2a32+a12a23a31-aia22a31-aa23322a233即[aj2ai3a1a22033+a13a21a32+a31a2a23a21 a22a23(1-1)a132231-ia233233a212[a31 32a33]三阶行列式定义的记法a12法一：法二：a2203132331132a3183233注：法一：在式（1.1）的右边前面带“+”的3项，用线连接起来，法二：三条从左上到右下的斜线上3个元素乘积的项前带“+”；三条从右上到左下的斜线上3个元素乘积的项前带“_”，类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦，这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的。下面来引进n阶行列式的定义.二、n阶行列式的定义由n2个数a(i,j=1,2,",n)排成n行n列1.n阶行列式的记号anai2... aina21a22..a2n(1-2).an2...aman
, , , 31 1 32 2 33 3 21 1 22 2 23 2 11 1 12 2 13 1 a x a x a b a x a x a b a x a x a b 类似地，可以引进三阶行列式的概念. 我们称记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值： a1 1a2 2a3 3 a1 3a2 1a3 2 a1 2a2 3a3 1 a1 3a2 2a3 1 a1 1a2 3a3 2 a1 2a2 1a3 3 即 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1-1） 三阶行列式定义的记法 法一： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 法二： 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a 注：法一：在式(1.1)的右边前面带“+”的 3 项，用线连接起来. 法二：三条从左上到右下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“+”； 三条从右上到左下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“-”. 类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四 阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦， 这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的. 下面来引进 n 阶行列式的定 义. 二、 n 阶行列式的定义 1. n 阶行列式的记号 由 2 n 个数 a (i, j 1,2, , n) ij 排成 n 行 n 列 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a (1-2)
称为n阶行列式（简记为A(a)).行列式中横排称为行，纵排称为列，数a(i,j=1,2",n)称为行列式的元素，i称为行标，j称为列标.为了明确（1-2）式的含义，我们先来研究n阶行列式中元素α,的余子式、代数余子式，2.余子式与代数余子式定义1把n阶行列式（1-2）中元素a所在的第i行和第j列元素划去后留下的n-1阶行列式称为元素a,的余子式，记作M,，即ajiauj+1ain...aij-l.......ai-11..ai-1j-1ai-lj+1..ai-InM=ai+11ai+1j-1ai+1j+1a;+In.....an.amnanj-1α nj+1注意：元素a的余子式与a的取值无关.并称A, =(-1)*i M,(1-3)为元素a的代数余子式，例如，对于三阶行列式ai1ai2ai3a21a22a23a31a32a3第一行元素的余子式分别为an2ania23a23aa,M.iMi2M.3a33[a31a33la32a.a32
称为 n 阶行列式(简记为 ( ) aij ).行列式中横排称为行，纵排称为列，数 ij a (i, j 1,2, ,n) 称为行列式的元素， i 称为行标， j 称为列标. 为了明确（1-2）式的含义，我们先来研究 n 阶行列式中元素 ij a 的余子式、 代数余子式. 2.余子式与代数余子式 定义 1 把 n 阶行列式（1-2）中元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后 留下的 n -1 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，即 n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n j j n ij a a a a a a a a a a a a a a a a M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意：元素 aij 的余子式与 aij 的取值无关. 并称 ij i j Aij M (1) （1-3） 为元素 ij a 的代数余子式. 例如，对于三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 第一行元素的余子式分别为 32 33 22 23 11 a a a a M , 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 , a a a a M a a a a M
第一行元素的代数余子式分别为a23a2212A =(-1)l+Az =(-1)A13 =(-1a33a31[a32a33a31a32利用以上结果可将（1-1）式化简为aiai2j3a22a23=arA+ai2A12+i3A13a21a31a32a33此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素αi1,αi2,α13分别与所对应的代数余子式A1,A12,A乘积的和.这与（1-1）式的定义是一致的，这种利用低阶行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义，按照这一思想我们给出n阶行列式（1-2）的归纳法定义3.行列式的归纳法定义定义2n阶行列式（1-2）是由n2个元素a,(i,j=1,2,,n)所决定的一个数.当n=2时，定义[auai2aia22-a1222[a21a22假设n-1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式ailai2... ana21a22... a2n=aiA+ai2Ai2 +...+ainAin(1-4).Jan an2 .. amml其中A,(j=1,2,",n)是n阶行列式中元素ai,(j=1,2,n)的代数余子式思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？4.用定义计算行列式例1、求行列式
第一行元素的代数余子式分别为 32 33 1 1 22 23 11 ( 1) a a a a A , 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 ( 1) , ( 1) a a a a A a a a a A . 利用以上结果可将（1-1）式化简为 . 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a A a A a A a a a a a a a a a 此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素 11 12, 13 a , a a 分别与所对应的 代数余子式 11 12 13 A , A , A 乘积的和.这与（1-1）式的定义是一致的，这种利用低阶 行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出 n 阶行列 式（1-2）的归纳法定义. 3.行列式的归纳法定义 定义 2 n 阶行列式（1-2）是由 2 n 个元素 a (i, j 1,2, , n) ij 所决定的一个 数. 当 n =2 时，定义 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 a a - a a a a a a 假设 n -1 阶行列式已经定义，则定义 n 阶行列式 n n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 （1-4） 其中 ( 1,2, , ) A1 j j n 是 n 阶行列式中元素 ( 1,2, , ) a1 j j n 的代数余子式. 思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义 的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？ 4. 用定义计算行列式 例 1 求行列式