《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第三章 矩阵的运算 3-1矩阵的运算

教学课型：理论课实验课口习题课第_3-1_节实践课技能课口其它主要教学内容（注明：*重点#难点）：重点：矩阵运算的定义、条件，矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求法。难点：矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法教学目的要求：（1）掌握矩阵运算的定义；（2）熟悉矩阵运算的条件；（3）熟悉矩阵运算的性质；教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 3-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 重点： 矩阵运算的定义、条件，矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求 法。 难点： 矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法 教学目的要求： （1）掌握矩阵运算的定义； （2）熟悉矩阵运算的条件； （3）熟悉矩阵运算的性质； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第三章矩阵的运算83.1矩阵的运算行数、列数分别相等的矩阵成为同型矩阵两个同型矩阵A=(a,）mn，B=(b,）mxn，如果它们对应的元素均相等，即a,=b,(i=1,2,m,j=1,2,,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B一、矩阵的加法定义1设矩阵A=(ag）mn，B=(b,）mn，称矩阵C =(a, +b, )mn为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B设矩阵A=(a）mx，称矩阵（-au）mn为A的负矩阵，记作-A，即- A=(-a, )mxn *利用负矩阵，矩阵的减法可定义为A-B=A+(-B)由矩阵加减法的定义，可以看出只有同型矩阵才能进行加法或减法运算。矩阵的加法满足下列运算规律（设A.B.C都是mxn阶矩阵，0是mxn阶零矩阵）：(1) A+B=B+A;(2) (A+B)+C=A+(B+C);(3) A+0=A;(4) A+(-A) =0.例1求矩阵X，使ro23-1-12310123012-1+X=12-20-110-1解

第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 行数、列数分别相等的矩阵成为同型矩阵 两个同型矩阵 A  aij mn ( ) ， B  bij mn ( ) ，如果它们对应的元素均相等，即 a b (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij  ij     ，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A  B . 一、矩阵的加法 定义 1 设矩阵 A  aij mn ( ) ， B  bij mn ( ) ，称矩阵 C  aij  bij mn ( ) 为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记作 C  A B. 设矩阵 A= aij mn ( ) ,称矩阵 aij mn ( ) 为 A 的负矩阵，记作- A ,即 - A = aij mn ( ) . 利用负矩阵，矩阵的减法可定义为 A B= A +(- B ). 由矩阵加减法的定义,可以看出只有同型矩阵才能进行加法或减法运算. 矩阵的加法满足下列运算规律（设 A,B,C 都是 mn 阶矩阵, 0 是 mn 阶零 矩阵）： （1） A B  B  A ； （2） (A B) C  A (B C) ; （3） A 0= A ; （4） A +(- A )  0. 例 1 求矩阵 X ，使              1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 2 1 ＋ X =              0 1 3 2 1 2 2 0 1 1 3 0 . 解

0-2+2-0P2300X=2-2二、数与矩阵的乘法定义2设矩阵A=(a,）mm，几是一个数，矩阵（aa,）mx称为数与矩阵A的乘积，记作入A或A入，即A=A=(a,)mxn由定义2知，数乘以矩阵与数乘以行列式显然是不同的，根据定义容易验证，数与矩阵的乘法满足下列运算规律（设A，B为mxn矩阵，，为数)：(1) (μA)=(A)A;(2)(a+μ)A=A+μA;(3) (A+B)=^A+^B;(4) 1A=A.注：矩阵的加法与数乘运算构成矩阵的线性运算，满足上面八条运算规律，因此，所有mxn矩阵构成的集合，连同矩阵的加法与数乘运算为线性空间.我们将在第六章进行介绍例2设14-530-7B:1=201-1 1 2求2A-3B解14-530-72A-3B=-11220128-10781190-2[-3 ° -2]7-3-4402线性变换的系数构成的mxn矩阵

X ＝              0 1 3 2 1 2 2 0 1 1 3 0 －              1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 2 1 ＝                1 2 1 0 0 3 3 1 4 2 1 1 ． 二、数与矩阵的乘法 定义２ 设矩阵 A = aij mn ( ) , 是一个数,矩阵 aij mn ( ) 称为数与矩阵 A 的乘 积,记作 A 或 A ,即 A =A= aij mn ( ) . 由定义２知，数乘以矩阵与数乘以行列式显然是不同的． 根据定义容易验证，数与矩阵的乘法满足下列运算规律（设 A , B 为 mn 矩 阵，  ,  为数）： （1） (A)  ()A ； （2） (  )A  A A ; （3） (A B)  A B ; （4） 1A  A. 注：矩阵的加法与数乘运算构成矩阵的线性运算，满足上面八条运算规律， 因此，所有 mn 矩阵构成的集合，连同矩阵的加法与数乘运算为线性空间.我们 将在第六章进行介绍. 例 2 设                1 1 2 3 0 - 7 , 2 0 1 1 4 - 5 A B , 求 2A 3B. 解 2A 3B                 1 1 2 3 0 7 3 2 0 1 1 4 5 2                          7 3 4 7 8 11 3 3 6 9 0 21 4 0 2 2 8 10 线性变换的系数构成的 mn 矩阵

aua12aina2ia22a2ran..amnan2称为线性变换的系数矩阵，三、矩阵的乘法在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换设变量y2,,ym能用变量x,x,,x线性表示，即=aux +ai2x, +...+ainxny2=a2ixj+a22x2+..-+a2nxn[ym=amx,+am2X2+...+ammXn其中a,(i=1,2,,m,j=1,2,n)为常数.这种从x,x2,,x,到y,2,ym的变换叫做线性变换.此线性变换的系数构成的mxn矩阵[aai2.ana21a22a2nLamam2...am称为线性变换的系数矩阵，设两个线性变换[yi=aix, +ai2X2 +ai33,(3-1)[y2=a21x,+a2x2+a3g,[ x, = brit+ +b12/2,(3-2)x2=b21 +b22/2,[x, =b31fi +b3212,为求出从t,t,到yi,y,的线性变换，可将(3-2)式代入(3-1)式得：[y=(aib1+a12b2:+a13b31)t,+(abi2+a12b22+a13b32)t2,(3-3)y=(a2b1i+a22b21+a23b31)t,+(a2ib12+a22b22+a23b32)t2线性变换(3-3)可看成是先作线性变换（3-1)再作线性变换(3-2)的结果，我们把线性变换(3-3)叫做线性变换(3-1)与(3-2)的乘积，相应地把(3-3)所对应的系数矩阵定义为(3-1)与(3-2)所对应的系数矩阵的乘积，即

            n n n n n n a a a a a a a a a . 1 2 21 22 2 11 12 1        称为线性变换的系数矩阵． 三、矩阵的乘法 在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换. 设变量 m y , y , , y 1 2  能用变量 n x , x , , x 1 2  线性表示,即                    , , , 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x          其中 a (i 1,2, ,m, j 1,2, ,n) ij     为常数.这种从 n x , x , , x 1 2  到 m y , y , , y 1 2  的变 换叫做线性变换.此线性变换的系数构成的 mn 矩阵             m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为线性变换的系数矩阵. 设两个线性变换          , , 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 y a x a x a x y a x a x a x (3-1)            , , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 x b t b t x b t b t x b t b t (3-2) 为求出从 1 2 t ,t 到 1 2 y , y 的线性变换，可将(3-2)式代入(3-1)式得：                ( ) ( ) . ( ) ( ) , 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 2 y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t (3-3) 线性变换(3-3)可看成是先作线性变换(3-1)再作线性变换(3-2)的结果,我们把 线性变换(3-3)叫做线性变换(3-1)与(3-2)的乘积，相应地把(3-3)所对应的系数 矩阵定义为(3-1)与(3-2)所对应的系数矩阵的乘积，即

[bubr2[aubu,+ai2b2+a3b31a,b12+aizb2+ai3b32aua2a13b21b,[a2ia22[a2ibii+a22b21+a23b31a2ib12+a22b22+a23b32.a23[b31 b32一般地，我们有定义3设A=(a,)是mxs矩阵，B=(b,)是s×n矩阵，作mxn矩阵C=(c),其中Cg=a,br,+azb2,+..+axb,=aib,(i=1,2,,m; j=12...n),k=l矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB，即binbubi2...aua12arsbab22..bzna21a22a2(bstb2...bsnamlam2ab+..+a,bs..abin+..+a,bsaab+...+a2.bst.abin++..+a,bsambu+.+ambt...ambin+..+amsbsn注意，在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等时，乘积AB才有意义，这时矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于矩阵B的列数且AB的第i行第i列的元素是A的第i行与B的第i列的对应元素乘积之和.例3设21-102103032014解1×2+0×1+2×3-1×41×1+0×2+2×0-1×104AB =0×2+1x1-1x3+3×40×1+1×2-1×0+3×l10-1×1+2×2+0×0+1×1-1×2+2×1+0×3+1×444例3中，矩阵B的列数为2，A的行数为3，所以B与A不能相乘，即BA无

      21 22 23 11 12 13 a a a a a a           32 22 12 31 21 11 b b b b b b ＝               2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 一般地，我们有 定义３ 设 A= ( ) aij 是 m s 矩阵， B ＝( ) bij 是 sn 矩阵，作 mn 矩阵 ( ) ij C  c ， 其中       s k ij ai b j ai b j aisbsj aikbkj c 1 1 1 2 2  ( i 1,2,  ,m；j 1,2,  ,n ), 矩阵 C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记作 C  AB ,即               m m ms s s a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1               s s sn n n b b b b b b b b b        1 2 21 22 2 11 12 1 =                            m ms s m n ms s n s s n s s n s s n s s n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b             1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意，在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵 A 的列数与右边矩阵 B 的行数 相等时，乘积 AB 才有意义，这时矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数， C 的列数等 于矩阵 B 的列数且 AB 的第 i 行第 j 列的元素是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元 素乘积之和. 例 3 设 A =              1 2 0 1 0 1 1 3 1 0 2 1 ， B =               1 4 0 3 2 1 1 2 解                                                        1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 0 3 1 4 0 1 1 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 3 3 4 1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 2 3 1 4 AB            4 4 5 10 0 4 . 例 3 中，矩阵 B 的列数为 2，A 的行数为 3，所以 B 与 A 不能相乘，即 BA 无