《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第三章 矩阵的运算 3-2逆矩阵

教学课型：理论课实验课口习题课口第3-2次课实践课技能课口其它口主要教学内容（注明：*重点#难点）：矩阵可逆的定义，矩阵可逆的条件，逆矩阵的求法重点：矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求法，难点：矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法，教学目的要求：（1）掌握矩阵可逆的定义；（2）熟悉矩阵可逆的条件；（3）会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵，教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 3-2 次课 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 矩阵可逆的定义，矩阵可逆的条件，逆矩阵的求法. 重点： 矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求法. 难点： 矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法. 教学目的要求： （1）掌握矩阵可逆的定义； （2）熟悉矩阵可逆的条件； （3）会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

83.2逆矩阵我们知道，对于非零常数a，比存在数a使aa=aa=1成立，那末对于n阶方阵A是否也有类似的结论呢？一、可逆矩阵的定义定义1对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E成立，那末称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵如果矩阵A可逆，那末A的逆矩阵是唯一的.事实上，如果矩阵B,C，都是A的逆矩阵，即有AB=BA=E, AC=CA=E,则B=BE =B(AC)=(BA)C =C我们把可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用A-I表示，即若AB=BA=E，则B= A-l.在应用上，可逆矩阵占有重要的地位，那末，矩阵A在什么条件下可逆？若矩阵A可逆，如何求A-？二、矩阵可逆的条件设Tauaina12.11.a21a22...a2nA=..Lanan2anA,是A中元素a的代数余子式，构造n阶矩阵[AA..AA12A22..AznA=LAnAn..A...其中A,是A中元素α的代数余子式，并称A为A的伴随矩阵由代数余子式的性质

§3.2 逆矩阵 我们知道，对于非零常数 a ,比存在数 -1 a 使 1 -1 -1 aa  a a  成立，那末对于 n 阶 方阵 A 是否也有类似的结论呢？ 一、可逆矩阵的定义 定义 1 对于 n 阶矩阵 A ,如果存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB  BA  E 成立，那末 称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 如果矩阵 A 可逆，那末 A 的逆矩阵是唯一的.事实上，如果矩阵 B,C ,都是 A 的逆矩阵，即有 AB  BA  E , AC CA  E ， 则 B  BE  B(AC)  (BA)C  C . 我们把可逆矩阵 A 的唯一的逆矩阵用 1 A 表示，即若 AB  BA  E ,则 B = 1 A . 在应用上，可逆矩阵占有重要的地位，那末，矩阵 A 在什么条件下可逆？若 矩阵 A 可逆，如何求 1 A ？ 二、矩阵可逆的条件 设 A =             n n n n n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 Aij 是 A 中元素 ij a 的代数余子式，构造 n 阶矩阵              n n n n n n A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 * , 其中 Aij 是 A 中元素 ij a 的代数余子式，并称 * A 为 A 的伴随矩阵. 由代数余子式的性质

IAl, i= j,aiAj+a2A2+...amAm-[0, ij,IA, i= j,auA,+aA,+..amA[0,i+j,则[A]00..[A] 00AA=AA:=|A|ELo0..4]因此，只要A+0，就有A)A=E于是有下面定理，定理1n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A≠0，并且A-1A*A证充分性A，则由上面知，AB=BA=E，即B是A设A±0，令B=Al的逆矩阵必要性设A可逆，则存在A-I使AA-1=E.两边取行列式得[4A-}|=[A|4-| = [E| =1,从而[A±0.例1判断矩阵12-1310A=-10-2是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵，解由于A=9+0，所以A是可逆的.A中各元素的代数余子式分别为A, = -2, A21 = 4, A1 =1

        0, , , , 1 1 2 2 i j A i j ai Aj ai Aj ainAjn         0, , , , 1 1 2 2 i j A i j a i A j a i A j an iAn j 则 A E A A A AA A A                         0 0 0 0 0 0 * * 因此，只要 A  0 ,就有 A A E A A A A  )  1 ) ( 1 ( * * . 于是有下面定理. 定理 1 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A  0 ，并且 1 1 * A A A   . 证 充分性 设 A  0 ，令 1 * A A B  ，则由上面知， AB  BA  E ,即 B 是 A 的逆矩阵. 必要性 设 A 可逆，则存在 1 A 使 AA  E 1 .两边取行列式得 1 1 1      AA A A E ， 从而 A  0 . 例 1 判断矩阵               1 0 2 3 1 0 1 2 1 A 是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵. 解 由于 A  9  0 ，所以 A 是可逆的. A 中各元素的代数余子式分别为 A11  2, A21  4, A31 1

A12 = 6, A22 = -3, A32 = -3 ,A13 = 1, A23 = -2, A33 = -5,于是-2411-6-3-3A49[A]1-2 -5]411-912191-92-31191-135--32-9]9推论1设A，B都是n阶矩阵，若AB=E，则A，B都可逆，且A-I = B,B-' = A.证，因为AB=E，所以AB=1，从而A±0，B0，由定理1知，A，B均可逆.将AB=E两边左乘A-得A-"AB=A-'E,即B = A-l.同理可证A= B-l三、可逆矩阵的性质利用推论1可以推出可逆矩阵的以下性质：(1）若A可逆，则A-I,A也可逆，且（A-")-=A，（A)-=(A-")(2）若A可逆，数入±0，则入A也可逆，并且(aA) =A-.(3)若A、B都可逆，则AB也可逆，并且(AB)-" = B-"A-1

A12  6, A22  3, A32  3， A13 1, A23  2, A33  5， 于是                   1 2 5 6 3 3 2 4 1 9 1 1 * 1 A A A                       9 5 9 2 9 1 3 1 3 1 3 2 9 1 9 4 9 2 . 推论 1 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若 AB  E ,则 A , B 都可逆，且 A  B B  A 1 1 , . 证 因为 AB  E ，所以 A B  1 ，从而 A  0 ， B  0 ，由定理 1 知， A ， B 均可逆. 将 AB  E 两边左乘 1 A 得 A AB A E 1 1  ， 即 1 B  A . 同理可证 1 A  B . 三、可逆矩阵的性质 利用推论 1 可以推出可逆矩阵的以下性质： (1) 若 A 可逆，则 1 ' A , A  也可逆，且 ( ) , ( ) ( ) . 1 1 ' 1 1 ' A  A A  A (2) 若 A 可逆，数   0 ，则 A 也可逆，并且 1 1 1 ( )   A  A   . (3)若 A、 B 都可逆，则 AB 也可逆，并且 1 1 1 ( )    AB  B A

证（1）因为AA-=A-A=E，所以A-I可逆，且其逆矩阵为A，即(A-")- = A.又因为A=A0，所以A可逆，对AA-=A-"A=E，两边取转置得(A-")A = A(A-") =E,因此(A)-I =(A-")（2）因A="A+0（n为A的阶数），所以A可逆，又AA-=A-A=E,因此有11 A")=( 4-)(M) = E.(A)(元元即(aM)" =↓A-I.元（3）因AB=AB+0，所以，AB可逆，(AB)(B-A-")=(B-A-)(AB)= E ,因此(AB)" = B"A-I.性质（3）可以推广到多个矩阵乘积的情形，即如果n阶矩阵A,A2..，A都可逆，那么AAA也可逆，并且（AA.A）-=A"..AA例2已知n阶矩阵A满足A-2A+E=O，证明矩阵A，A+E可逆，并求出其逆矩阵.证由A-2A+E=O，可得-A(A-2E)=E，所以A可逆且A-=-(A-2E)由A?-2A+E=O，可得（A+E)(A-3E)=-4E，所以A+E可逆，且(A+E)- =--(A-3E)

证 （1）因为 AA  A A  E 1 1 ，所以 1 A 可逆，且其逆矩阵为 A ，即 ( ) . 1 1 A  A   又因为 0 ' A  A  ，所以 ' A 可逆，对 AA  A A  E 1 1 ，两边取转置得 A A  A A  E 1 ' ' ' 1 ' ( ) ( ) ， 因此 ( ) ( ) . ' 1 1 ' A  A （2） 因 A  A  0 n   ( n 为 A 的阶数)，所以 A 可逆，又 AA  A A  E 1 1 ， 因此有 A A  A A  E   )( ) 1 ) ( 1 ( )( 1 1     . 即 1 1 1 ( )   A  A   . （3）因 AB  A B  0 ，所以， AB 可逆. AB B A  B A AB  E     ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 ， 因此 1 1 1 ( )    AB  B A . 性质（3）可以推广到多个矩阵乘积的情形，即如果 n 阶矩阵 A A ，Ak , , 1 2 都 可逆，那么 A1A2Ak 也可逆，并且 1 1 1 2 1 1 1 2 ( )      A A Ak  Ak A A . 例 2 已知 n 阶矩阵 A 满足 A  2A E  O 2 ，证明矩阵 A ，A E 可逆，并求 出其逆矩阵. 证 由 A  2A E  O 2 ，可得 A(A 2E)  E ，所以 A 可逆且 ( 2 ) 1 A   A E  . 由 A  2A E  O 2 ，可得 (A E)(A3E)  4E ，所以 A E 可逆,且 ( 3 ) 4 1 ( ) 1 A E   A E 