《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第三章 矩阵的运算 3-3初等矩阵

教学课型：理论课实验课口习题课口第3-3节实践课口技能课口其它口主要教学内容（注明：*重点#难点）：初等矩阵及其性质，矩阵等与乘积的关系，用初等变换求逆矩阵.重点：初等矩阵及其性质，难点:初等矩阵的性质，教学目的要求：（1）掌握初等矩阵定义及其性质；（2）理解矩阵等价的充要条件；（3）熟悉用初等变换求逆矩阵.教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 3-3 节 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 初等矩阵及其性质，矩阵等与乘积的关系，用初等变换求逆矩 阵. 重点： 初等矩阵及其性质， 难点： 初等矩阵的性质. 教学目的要求： （1）掌握初等矩阵定义及其性质； （2）理解矩阵等价的充要条件； （3）熟悉用初等变换求逆矩阵. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

S3.3初等矩阵上一节讨论了用伴随矩阵求逆矩阵的方法，我们知道其计算量一般较大，矩阵的初等变换是我们熟悉的方法，能否用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵？由于可逆矩阵是与矩阵的乘法密切相关的，因此，要想利用初等变换来求逆矩阵，首先需要把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系起来，一、初等矩阵定义1由单位矩阵经过一次初等变换而得到矩阵称之为初等矩阵，因为矩阵的初等变换有三种，所以相应的初等矩阵也有三类（1）互换单位矩阵E的第i行于第i行（或第i列与第i列）所得到的初等矩阵110..1:E(i, j)=1..011（2）用非零常数k乘单位矩阵E的第i行（或第i列）所得到的初等矩阵[1kE(i(k) =1]（3）用常数k乘单位矩阵E的第行（或第i列）加得到的第i行（或第i列）的相应元素上去，所得到的初等矩阵

§3.3 初等矩阵 上一节讨论了用伴随矩阵求逆矩阵的方法，我们知道其计算量一般较大.矩 阵的初等变换是我们熟悉的方法，能否用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵？由于 可逆矩阵是与矩阵的乘法密切相关的，因此，要想利用初等变换来求逆矩阵，首 先需要把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系起来. 一、初等矩阵 定义 1 由单位矩阵经过一次初等变换而得到矩阵称之为初等矩阵. 因为矩阵的初等变换有三种，所以相应的初等矩阵也有三类. （1）互换单位矩阵 E 的第 i 行于第 j 行（或第 i 列与第 j 列）所得到的初等 矩阵                              1 1 1 0 0 1 1 1 ( )       E i，j （2）用非零常数 k 乘单位矩阵 E 的第 i 行（或第 i 列）所得到的初等矩阵                  1 1 ( ( ))   E i k k （3）用常数 k 乘单位矩阵 E 的第 j 行（或第 i 列）加得到的第 i 行（或第 j 列） 的相应元素上去，所得到的初等矩阵

E(j(k),i) =1二、初等矩阵的性质1.初等矩阵均可逆由于[E(i,J) =1 ± 0, [E(i(k) =k ± 0, [E(j(k),i)|=1 ± 0所以初等矩阵都可逆.容易验证，初等矩阵的逆矩阵仍为与其同类的初等矩阵且E-(i,J)= E(i,j); E-(i(k)= E(iCE-"(G(k),i) = E(j(-k),i),);2.初等矩阵的作用对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵来表示.事实上，对mxn矩阵A进行一次初等行变换就相当于以相应的m阶初等矩阵左乘矩阵A，即[aiaia12...a12ain...ain...'.."..aiajiai2..aiaj2...ajniHrA== E(i,J)A;-.-aiaitai2ainaj2ajmn..........Laml[amam2amam2anu.[a]ai2ainanai2ain-....ka,2ka,nA=ka,i= E(i(k)A;aitai2ain-..Lamlam2amlaam2a

                       1 1 1 1 ( ( ), )      k E j k i 二、初等矩阵的性质 1.初等矩阵均可逆 由于 E(i, j) 1  0, E(i(k))  k  0, E( j(k),i) 1  0, 所以初等矩阵都可逆.容易验证，初等矩阵的逆矩阵仍为与其同类的初等矩阵且 ( , ) ( , ); 1 E i j  E i j  )); 1 ( ( )) ( ( 1 k E i k  E i  ( ( ), ) ( ( ), ). 1 E j k i  E j k i  2.初等矩阵的作用 对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵来表示.事实 上，对 mn 矩阵 A 进行一次初等行变换就相当于以相应的 m 阶初等矩阵左乘矩 阵 A ，即 E i j A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in j j jn n r r m m mn j j jn i i in n ~ ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2                                                                                ； E i k A a a a k a k a k a a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n r k m m mn i i in n ~ ( ( )) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1                                                          ；

ai2auanaina12a, +ka,am+kajmanai2 +kaj2ai2A=E(i(k),i)Aaj2ajnanaj2ai..am2a mn[amiamlam2同理，对mxn矩阵A进行一次初等列变换相当于以相应的n阶初等矩阵右乘矩阵A.因此有下面定理.定理1设A是一个mxn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.这样，初等矩阵将初等变换与矩阵的乘积建立起对应关系.根据定理1，可以把矩阵的等价关系用矩阵的乘积表示出来，推论1mxn矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶初等矩阵P,P2,P及n阶初等矩阵Qi,Q2.Q，使得PP.·..PAQQ,Q,=B由于可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此有下面的推论推论2mxn矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵Q使得PAQ=B在第二章中我们已经知道，用初等变换可以将矩阵化成标准型，即对于任一mxn矩阵A都有10000001....0A~I=000000...LO000......特别地，满秩矩阵A的标准型为单位矩阵E，于是有下面结论，定理2n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即

E j k i A a a a a a a a k a a k a a k a a a a a a a a a a a a a a a a A m m mn j j jn i j i j in jn n r i krj m m mn j j jn i i in n ~ ( ( ), ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1                                                                                   . 同理，对 mn 矩阵 A 进行一次初等列变换相当于以相应的 n 阶初等矩阵右 乘矩阵 A.因此有下面定理. 定理 1 设 A 是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的 左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵. 这样，初等矩阵将初等变换与矩阵的乘积建立起对应关系.根据定理 1，可 以把矩阵的等价关系用矩阵的乘积表示出来. 推论 1 mn 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵 P P Pl , , , 1 2  及 n 阶初等矩阵 Q Q Qi , , , 1 2  ，使得 P1P2 Pl AQ1Q2 Qi  B. 由于可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此有下面的推论. 推论 2 mn 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 p 及 n 阶可 逆矩阵 Q 使得 PAQ  B 在第二章中我们已经知道，用初等变换可以将矩阵化成标准型，即对于任一 mn 矩阵 A 都有                        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~                       A I 特别地，满秩矩阵 A 的标准型为单位矩阵 E ，于是有下面结论. 定理 2 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘 积，即

(3-4)A=PP...P其中P,P..,P都是n阶初等矩阵.注：（3-4）式就是可逆矩阵的分解式，即可逆矩阵可以分解为有限个初等矩阵的乘积.关于矩阵的分解问题，在工程领域有着广泛的应用，常见的分解有:.00000下面来介绍用初等变换来求逆矩阵的方法由（3-4）式可得(3-5)P-"...P-"P-"A=E,及P-...P-"P-"E = A-,(3-6)（3-5及（3-6）式表明，如果用一系列初等变换把可逆矩阵A化成单位矩阵E，那么用同样的初等行变换作用于E，就将E化成A-1.由此可得求逆矩阵的另一种方法.用已知的n阶矩阵A及n阶单位矩阵E，作一个nx2n矩阵[AE].并对这个矩阵施行初等行变换，当将它的左半部分的矩阵A化成单位矩阵E，同时右边部分的单位矩阵E就化成了A-，即[A E]~ [E A-]例1已知[0 1 2]A=1 14[2 -1 0]求A".解To0-2301110041iHr[A E]=11A0010O012?02001-1000-11

A  P1P2 Pl （3-4） 其中 P P Pl , , , 1 2  都是 n 阶初等矩阵. 注：（3-4）式就是可逆矩阵的分解式,即可逆矩阵可以分解为有限个初等矩 阵的乘积.关于矩阵的分解问题，在工程领域有着广泛的应用.常见的分解 有：。 下面来介绍用初等变换来求逆矩阵的方法. 由（3-4）式可得 , 1 1 1 2 1 Pl P P A  E     （3-5） 及 , 1 1 1 1 2 1    Pl P P E  A （3-6） （3-5 及（3-6）式表明，如果用一系列初等变换把可逆矩阵 A 化成单位矩阵 E ， 那么用同样的初等行变换作用于 E ，就将 E 化成 1 A .由此可得求逆矩阵的另一 种方法. 用已知的 n 阶矩阵 A 及 n 阶单位矩阵 E ,作一个 n 2n 矩阵 A E .并对这个 矩阵施行初等行变换，当将它的左半部分的矩阵 A 化成单位矩阵 E ，同时右边部 分的单位矩阵 E 就化成了 1 A ，即 A E ~ E  1 A 例 1 已知             2 1 0 1 1 4 0 1 2 A 求 1 A . 解                           2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 2 1 0 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 2 3 0 0 1 2 r r A E