点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的 面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是 解题的关键,在(2)中联立两函数解析式,得到关于ⅹ 的一元二次方程是解题的关键,在(3)中求得N点的坐 标是解题的关键,在最后一小题中用a表示出△QMN的 面积是解题的关键.本题考査知识点较多,综合性较强, 难度较大 10.在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a 1),其中a≠0 (1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表 达式 (2)若一次函数y2=aXx+b的图象与y1的图象经过x轴上 同一点,探究实数a,b满足的关系式; (3)已知点P(Xo,m)和Q(1,n)在函数y的图象上, 若m<n,求x的取值范围 【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式 (2)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得答案; (3)根据二次函数的性质,可得答案 【解答】解:(1)函数y1的图象经过点(1,-2),得 (a+1)(-a)=-2, 解得a1=-2,a2=1, 函数y1的表达式y=(x-2)(x+2-1),化简,得y=x2-x 2; 第26页共
第 26 页 共 249 页 点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的 面积等知识．在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是 解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 N 点的坐 标是解题的关键，在最后一小题中用 a 表示出△QMN 的 面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强， 难度较大． 10．在平面直角坐标系中，设二次函数 y1=（x+a）（x﹣a ﹣1），其中 a≠0． （1）若函数 y1 的图象经过点（1，﹣2），求函数 y1 的表 达式； （2）若一次函数 y2=ax+b 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上 同一点，探究实数 a，b 满足的关系式； （3）已知点 P（x0，m）和 Q（1，n）在函数 y1 的图象上， 若 m＜n，求 x0 的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案； （3）根据二次函数的性质，可得答案． 【解答】解：（1）函数 y1 的图象经过点（1，﹣2），得 （a+1）（﹣a）=﹣2， 解得 a1=﹣2，a2=1， 函数 y1 的表达式 y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得 y=x2﹣x ﹣2；
函数y1的表达式y=(x+1)(x-2)化简,得y=x2-x-2, 综上所述:函数y1的表达式y=x2-x-2; (2)当y=0时(x+a)(x-a-1)=0,解得x1=-a,x2=a+1, y1的图象与x轴的交点是(-a,0),(a+1,0), 当y2=ax+b经过(-a,0)时,-a2+b=0,即b=a2 当y2=ax+b经过(a+1,0)时,a2+a+b=0,即b=-a2-a; (3)当P在对称轴的左侧(含顶点)时,y随x的增大而 减小, (1,n)与(0,n)关于对称轴对称, 由m<n,得0<×≤1: 当时P在对称轴的右侧时,y随x的增大而增大, 由m<n,得1<x0<1 综上所述:m<n,所求x0的取值范围0<x0<1 【点评】本题考査了二次函数图象上点的坐标特征,解(1) 的关键是利用待定系数法;解(2)的关键是把点的坐标 代入函数解析式;解(3)的关键是利用二次函数的性质, 要分类讨论,以防遗漏 11.定义:如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交 于A,B两点,点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重 合),如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2,则称点P为抛 物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点 第27页共
第 27 页 共 249 页 函数 y1 的表达式 y=（x+1）（x﹣2）化简，得 y=x2﹣x﹣2， 综上所述：函数 y1 的表达式 y=x2﹣x﹣2； （2）当 y=0 时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得 x1=﹣a，x2=a+1， y1 的图象与 x 轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0）， 当 y2=ax+b 经过（﹣a，0）时，﹣a 2+b=0，即 b=a2； 当 y2=ax+b 经过（a+1，0）时，a 2+a+b=0，即 b=﹣a 2﹣a； （3）当 P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随 x 的增大而 减小， （1，n）与（0，n）关于对称轴对称， 由 m＜n，得 0＜x0≤ ； 当时 P 在对称轴的右侧时，y 随 x 的增大而增大， 由 m＜n，得 ＜x0＜1， 综上所述：m＜n，所求 x0 的取值范围 0＜x0＜1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1） 的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标 代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质， 要分类讨论，以防遗漏． 11．定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交 于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与 A、B 两点不重 合），如果△ABP 的三边满足 AP2+BP2=AB2，则称点 P 为抛 物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．
(1)直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标 (2)如图2,已知抛物线C:y=ax2+bx(a≠0)与x轴交 于A,B两点,点P(1,√3)是抛物线C的勾股点,求抛 物线C的函数表达式 (3)在(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件 S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标 【分析】(1)根据抛物线勾股点的定义即可得 (2)作PG⊥X轴,由点P坐标求得AG=1、PG=√3、PA=2, 由tan∠PAB=P=3知∠PAG=60°,从而求得AB=4,即B(4, 0),待定系数法求解可得; (3)由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底,可知点Q到x轴的 距离为√3,据此求解可得 【解答】解:(1)抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标为(0, 1); (2)抛物线y=ax2+bx过原点,即点A(0,0), 如图,作PG⊥X轴于点G, 第28页共
第 28 页 共 249 页 （1）直接写出抛物线 y=﹣x 2+1 的勾股点的坐标． （2）如图 2，已知抛物线 C：y=ax2+bx（a≠0）与 x 轴交 于 A，B 两点，点 P（1， ）是抛物线 C 的勾股点，求抛 物线 C 的函数表达式． （3）在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 S△ABQ=S△ABP 的 Q 点（异于点 P）的坐标． 【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得； （2）作 PG⊥x 轴，由点 P 坐标求得 AG=1、PG= 、PA=2， 由 tan∠PAB= = 知∠PAG=60°，从而求得 AB=4，即 B（4， 0），待定系数法求解可得； （3）由 S△ABQ=S△ABP 且两三角形同底，可知点 Q 到 x 轴的 距离为 ，据此求解可得． 【解答】解：（1）抛物线 y=﹣x 2+1 的勾股点的坐标为（0， 1）； （2）抛物线 y=ax2+bx 过原点，即点 A（0，0）， 如图，作 PG⊥x 轴于点 G
∵点P的坐标为(1,√3), ∴A=1、PG=3,PA=A2+P62=12+(3)22, ∵tan∠PAB=P=√3, ∴∠PAG=60°, 在Rt△PAB中,AB=PA=2=4, cos∠PAB1 ∴点B坐标为(4,0), 设y=ax(x-4), 将点P(1,√3)代入得:a=-, X(x-4) (3)①当点Q在x轴上方时,由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵 坐标为√3, 则有-√3x2+43 解得:x1=3,x2=1(不符合题意,舍去), ∴点Q的坐标为(3,√3); ②当点Q在x轴下方时,由S△ABQ=S△AP知点Q的纵坐标 为-√3 则有3x2+45x=-√3, 解得:x1=2+√7,x2=2-√7, ∴点Q的坐标为(2+√7,-√3)或(2-√,-√3); 第29页共
第 29 页 共 249 页 ∵点 P 的坐标为（1， ）， ∴AG=1、PG= ，PA= = =2， ∵tan∠PAB= = ， ∴∠PAG=60°， 在 Rt△PAB 中，AB= = =4， ∴点 B 坐标为（4，0）， 设 y=ax（x﹣4）， 将点 P（1， ）代入得：a=﹣ ， ∴y=﹣ x（x﹣4）=﹣ x 2+ x； （3）①当点 Q 在 x 轴上方时，由 S△ABQ=S△ABP 知点 Q 的纵 坐标为 ， 则有﹣ x 2+ x= ， 解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去）， ∴点 Q 的坐标为（3， ）； ②当点 Q 在 x 轴下方时，由 S△ABQ=S△ABP 知点 Q 的纵坐标 为﹣ ， 则有﹣ x 2+ x=﹣ ， 解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ， ∴点 Q 的坐标为（2+ ，﹣ ）或（2﹣ ，﹣ ）；
综上,满足条件的点Q有3个:(3,√3)或(2+,-√3) 或(2-√7, 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法 求函数解析式,根据新定义求得点B的坐标,并熟练掌握 待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键 12.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD ∥x轴,且CD=2,直线|是抛物线的对称轴,E是抛物线 的顶点 (1)求b、c的值; (2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线|的对 称点F"恰好在线段BE上,求点F的坐标; (3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线 分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线 上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线 段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不 存在,说明理由 (图②) 第30页共
第 30 页 共 249 页 综上，满足条件的点 Q 有 3 个：（3， ）或（2+ ，﹣ ） 或（2﹣ ，﹣ ）． 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点及待定系数法 求函数解析式，根据新定义求得点 B 的坐标，并熟练掌握 待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键． 12．如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC．点 D 在函数图象上，CD ∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线 的顶点． （1）求 b、c 的值； （2）如图①，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对 称点 F'恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3）如图②，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线 分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N．试问：抛物线 上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线 段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不 存在，说明理由．