∴P(2,-3),Q(-2,-3), 综上可知存在满足条件的点P、Q,其坐标为P(-2,5), Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2,-3) 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、 对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性 质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中由对称 性质求得a、n的值是解题的关键,在(2)中注意函数图 象与坐标轴的交点的求法即可,在(3)中确定出PQ的长 度,设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键.本题考 查知识点较多,综合性较强,难度适中 8.已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是D A.0 B.1 C.2 D1或2 (2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函 数y=(x+1)2的图象上 (3)当-2≤m≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的 取值范围. 【分析】(1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结 果 (2)将二次函数解析式配方变形后,判断其顶点坐标是 否在已知函数图象即可 (3)根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可 【解答】解:(1)∵函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常 第21页共
第 21 页 共 249 页 ∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）， 综上可知存在满足条件的点 P、Q，其坐标为 P（﹣2，5）， Q（2，5）或 P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、 对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性 质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中由对称 性质求得 a、n 的值是解题的关键，在（2）中注意函数图 象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出 PQ 的长 度，设 P 点坐标表示出 Q 点的坐标是解题的关键．本题考 查知识点较多，综合性较强，难度适中． 8．已知函数 y=﹣x 2+（m﹣1）x+m（m 为常数）． （1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 D ． A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 （2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函 数 y=（x+1）2 的图象上． （3）当﹣2≤m≤3 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的 取值范围． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结 果； （2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是 否在已知函数图象即可； （3）根据 m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可． 【解答】解：（1）∵函数 y=﹣x 2+（m﹣1）x+m（m 为常
数), ∴△=(m-1)2+4m=(m+1)2≥0, 则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2, 故选D (2)y=-x2+(m-1)x+m=-(x-m)2my 把x代入y=(x1)2得:y=(m1+1)2=m1)2 则不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1) 2的图象上; (3)设函数z=(m+1)2 当m=-1时,z有最小值为0; 当m<-1时,z随m的增大而减小; 当m>-1时,z随m的增大而增大, 当m=-2时,z=1;当m=3时 则当-2≤m≤3时,该函数图象的顶点坐标的取值范围是 0≤z≤4 【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及二次函数 的性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关 键 9.已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点 M(1,0),且a<b (I)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (工)说明直线与抛物线有两个交点; (Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N 第22页共
第 22 页 共 249 页 数）， ∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0， 则该函数图象与 x 轴的公共点的个数是 1 或 2， 故选 D； （2）y=﹣x 2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣ ）2+ ， 把 x= 代入 y=（x+1）2 得：y=（ +1）2= ， 则不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y=（x+1） 2 的图象上； （3）设函数 z= ， 当 m=﹣1 时，z 有最小值为 0； 当 m＜﹣1 时，z 随 m 的增大而减小； 当 m＞﹣1 时，z 随 m 的增大而增大， 当 m=﹣2 时，z= ；当 m=3 时，z=4， 则当﹣2≤m≤3 时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是 0≤z≤4． 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，以及二次函数 的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关 键． 9．已知直线 y=2x+m 与抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），且 a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点 Q 的坐标（用含 a 的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为 N．
(i)若-1≤a≤-1,求线段MN长度的取值范围; (i)求△QMN面积的最小值 【分析】(I)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与 a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求 得其顶点坐标; (工)由直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物 线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,再判 断其判别式大于0即可 (Ⅲ)(i)由(Ⅱ)的方程,可求得N点坐标,利用勾股 定理可求得MN2,利用二次函数性质可求得MN长度的取 值范围;(ⅱ)设抛物线对称轴交直线与点E,则可求得E 点坐标,利用S△MN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的 面积,再整理成关于a的一元二次方程,利用判别式可得 其面积的取值范围,可求得答案 【解答】解: (I)∵抛物线y=ax2+ax+b过点M(1,0), ∴a+a+b=0,即b=-2 . y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a (x+1)2-ya, ∴抛物线顶点Q的坐标为(-1,-9) (Ⅱ)∵直线y=2X+m经过点M(1,0), ∴0=2×1+m,解得m=-2, 联立直线与抛物线解析式,消去y可得ax2+(a-2)x- 2a+2=0(*) ∴△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4, 第23页共
第 23 页 共 249 页 （ⅰ）若﹣1≤a≤﹣ ，求线段 MN 长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN 面积的最小值． 【分析】（Ⅰ）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求 得其顶点坐标； （Ⅱ）由直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物 线解析式，消去 y，可得到关于 x 的一元二次方程，再判 断其判别式大于 0 即可； （Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得 N 点坐标，利用勾股 定理可求得 MN2，利用二次函数性质可求得 MN 长度的取 值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点 E，则可求得 E 点坐标，利用 S△QMN=S△QEN+S△QEM 可用 a 表示出△QMN 的 面积，再整理成关于 a 的一元二次方程，利用判别式可得 其面积的取值范围，可求得答案． 【解答】解： （Ⅰ）∵抛物线 y=ax2+ax+b 过点 M（1，0）， ∴a+a+b=0，即 b=﹣2a， ∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+ ）2﹣ ， ∴抛物线顶点 Q 的坐标为（﹣ ，﹣ ）； （Ⅱ）∵直线 y=2x+m 经过点 M（1，0）， ∴0=2×1+m，解得 m=﹣2， 联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 ax2+（a﹣2）x﹣ 2a+2=0（*） ∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4
由(I)知b=-2a,且a<b, ∴a<0,b>0, ∴△>0, ∴方程(*)有两个不相等的实数根, 直线与抛物线有两个交点; (Ⅲ)联立直线与抛物线解析式,消去y可得ax2+(a-2) x-2a+2=0,即x2+(1-2)x-2+2=0, ∴(x-1)[x-(2-2)]=0,解得x=1或x=2-2 ∴N点坐标为(2-2,4-6), (i)由勾股定理可得MN2=[(2-2)-1]2+(4-6)2=20 +45=20(1-3) ∵-1≤a≤-1 ∴-2≤1≤-1, ∴MN2随的增大而减小, 当1=-2时,MN2有最大值245,则MN有最大值7√5, 当1=-1时,MN2有最小值125,则MN有最小值5√5, ∴线段MN长度的取值范围为55≤MN≤7√5; (i)如图,设抛物线对称轴交直线与点E, 第24页共
第 24 页 共 249 页 由（Ⅰ）知 b=﹣2a，且 a＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴△＞0， ∴方程（*）有两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 ax2+（a﹣2） x﹣2a+2=0，即 x 2+（1﹣ ）x﹣2+ =0， ∴（x﹣1）[x﹣（ ﹣2）]=0，解得 x=1 或 x= ﹣2， ∴N 点坐标为（ ﹣2， ﹣6）， （i）由勾股定理可得 MN2=[（ ﹣2）﹣1] 2+（ ﹣6）2= ﹣ +45=20（ ﹣ ）2， ∵﹣1≤a≤﹣ ， ∴﹣2≤ ≤﹣1， ∴MN2 随 的增大而减小， ∴当 =﹣2 时，MN2 有最大值 245，则 MN 有最大值 7 ， 当 =﹣1 时，MN2 有最小值 125，则 MN 有最小值 5 ， ∴线段 MN 长度的取值范围为 5 ≤MN≤7 ； （ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点 E
∵抛物线对称轴为x=-1 ∴E( 3), ∵M(1,0),N(2-2,4-6),且a<0,设△QMN的 面积为S, ∴S=S△EN+S△EM=1|(2-2)-1|·-92-(-3)|=27 327 a ∴27a2+(8S-54)a+24=0(*), ∵关于a的方程(*)有实数根, ∴△=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36√2) ∴a<0, 27327 ∴8S-54>0 ∴85-54≥362,即s≥27+9/2, 当S=2+9V2时,由方程(*)可得a=-2满足题意, 当a=-22,b=4时,△QMN面积的最小值为2+92 42 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及函数图象的交 第25页共
第 25 页 共 249 页 ∵抛物线对称轴为 x=﹣ ， ∴E（﹣ ，﹣3）， ∵M（1，0），N（ ﹣2， ﹣6），且 a＜0，设△QMN 的 面积为 S， ∴S=S△QEN+S△QEM= |（ ﹣2）﹣1|•|﹣ ﹣（﹣3）|= ﹣ ﹣ ， ∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*）， ∵关于 a 的方程（*）有实数根， ∴△=（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36 ） 2， ∵a＜0， ∴S= ﹣ ﹣ ＞ ， ∴8S﹣54＞0， ∴8S﹣54≥36 ，即 S≥ + ， 当 S= + 时，由方程（*）可得 a=﹣ 满足题意， ∴当 a=﹣ ，b= 时，△QMN 面积的最小值为 + ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交