【分析】(1)由条件可求得抛物线对称轴,则可求得b的 值;由OB=oC,可用c表示出B点坐标,代入抛物线解析 式可求得c的值; (2)可设F(0,m),则可表示出F的坐标,由B、E的 坐标可求得直线BE的解析式,把F坐标代入直线BE解析 式可得到关于m的方程,可求得F点的坐标; (3)设点P坐标为(n,0),可表示出PA、PB、PN的长, 作QR⊥PN,垂足为R,则可求得QR的长,用n可表示出 Q、R、N的坐标,在Rt△QRN中,由勾股定理可得到关 于n的二次函数,利用二次函数的性质可知其取得最小值 时n的值,则可求得Q点的坐标, 【解答】解: (1)∵CD∥x轴,CD=2 ∴抛物线对称轴为x=1 ∵OB=OC,C(0,c), ∴B点的坐标为(-c,0), ∴0=C2+2c+c,解得c=-3或c=0(舍去), ∴C=-3 (2)设点F的坐标为(0,m). ∵对称轴为直线x=1, ∴点F关于直线1的对称点F的坐标为(2,m) 由(1)可知抛物线解析式为y=x2-2x-3=(X-1)2-4, 第31页共
第 31 页 共 249 页 【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得 b 的 值；由 OB=OC，可用 c 表示出 B 点坐标，代入抛物线解析 式可求得 c 的值； （2）可设 F（0，m），则可表示出 F′的坐标，由 B、E 的 坐标可求得直线 BE 的解析式，把 F′坐标代入直线 BE 解析 式可得到关于 m 的方程，可求得 F 点的坐标； （3）设点 P 坐标为（n，0），可表示出 PA、PB、PN 的长， 作 QR⊥PN，垂足为 R，则可求得 QR 的长，用 n 可表示出 Q、R、N 的坐标，在 Rt△QRN 中，由勾股定理可得到关 于 n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值 时 n 的值，则可求得 Q 点的坐标， 【解答】解： （1）∵CD∥x 轴，CD=2， ∴抛物线对称轴为 x=1． ∴ ． ∵OB=OC，C（0，c）， ∴B 点的坐标为（﹣c，0）， ∴0=c2+2c+c，解得 c=﹣3 或 c=0（舍去）， ∴c=﹣3； （2）设点 F 的坐标为（0，m）． ∵对称轴为直线 x=1， ∴点 F 关于直线 l 的对称点 F 的坐标为（2，m）． 由（1）可知抛物线解析式为 y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
∴E(1 ∵直线BE经过点B(3,0),E(1,-4), ∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x-6 点F在BE上, m=2×2-6=-2,即点F的坐标为(0,-2); (3)存在点Q满足题意 设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3-n,PN 2n+3 作QR⊥PN,垂足为R, ∴S△PQN=S△APM, ∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)QR, QR=1 ①点Q在直线PN的左侧时,Q点的坐标为(n-1,n 4n),R点的坐标为(n,n2-4n),N点的坐标为(n,ni 2n-3). ∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n-3)2 n3时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(1,15); ②点Q在直线PN的右侧时,Q点的坐标为(n+1,n2-4) 第32页共
第 32 页 共 249 页 ∴E（1，﹣4）， ∵直线 BE 经过点 B（3，0），E（1，﹣4）， ∴利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y=2x﹣6． ∵点 F 在 BE 上， ∴m=2×2﹣6=﹣2，即点 F 的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点 Q 满足题意． 设点 P 坐标为（n，0），则 PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣ n 2+2n+3． 作 QR⊥PN，垂足为 R， ∵S△PQN=S△APM， ∴ ， ∴QR=1． ①点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为（n﹣1，n 2﹣ 4n），R 点的坐标为（n，n 2﹣4n），N 点的坐标为（n，n 2 ﹣2n﹣3）． ∴在 Rt△QRN 中，NQ2=1+（2n﹣3）2， ∴ 时，NQ 取最小值 1．此时 Q 点的坐标为 ； ②点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为（n+1，n 2﹣4）．
同理,NQ2=1+(2n-1)2 n1时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为3,15) 综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为(,15或 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法 轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方 程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得抛物线的 对称轴是解题的关键,在(2)中用F点的坐标表示出F 的坐标是解题的关键,在(3)中求得QR的长,用勾股定 理得到关于n的二次函数是解题的关键.本题考查知识点 较多,综合性较强,特别是最后一问,难度很大 13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=3×2-23x √3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴 交于点C,对称轴与ⅹ轴交于点D,点E(4,n)在抛物 线上 图1 (1)求直线AE的解析式 (2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当 第33页共
第 33 页 共 249 页 同理，NQ2=1+（2n﹣1）2， ∴ 时，NQ 取最小值 1．此时 Q 点的坐标为 ． 综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为 或 ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、 轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方 程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的 对称轴是解题的关键，在（2）中用 F 点的坐标表示出 F′ 的坐标是解题的关键，在（3）中求得 QR 的长，用勾股定 理得到关于 n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点 较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x 2﹣ x ﹣ 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴 交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4，n）在抛物 线上． （1）求直线 AE 的解析式； （2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE．当
△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中 点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求 KM+MN+NK的最小值 (3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-25x-√3 沿x轴正方向平移得到新抛物线y,y经过点D,y的顶点 为点F.在新抛物线y的对称轴上,是否存在点Q,使得 △FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若 不存在,请说明理由 【分析】(1)抛物线的解析式可变形为y=3(x+1)(x-3), 从而可得到点A和点B的坐标,然后再求得点E的坐标, 设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入 求得k和b的值,从而得到AE的解析式; (2)设直线CE的解析式为y=mx-√3,将点E的坐标代 入求得m的值,从而得到直线CE的解析式,过点P作P ∥y轴,交CE与点F.设点P的坐标为(x,y5x2-25x √),则点F(x,23x-√),则FP=3x2+4√x.由三 角形的面积公式得到△EPC的面积=-25x2+85x,利用二 次函数的性质可求得x的值,从而得到点P的坐标,作点 K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP 与N、M.然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐 标,当点O、N、M、H在条直线上时,KM+MNNK有最 小值,最小值=GH (3)由平移后的抛物线经过点D,可得到点F的坐标, 利用中点坐标公式可求得点G的坐标,然后分为QG=FG、 第34页共
第 34 页 共 249 页 △PCE 的面积最大时，连接 CD，CB，点 K 是线段 CB 的中 点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上的一点，求 KM+MN+NK 的最小值； （3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 y= x 2﹣ x﹣ 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y′，y′经过点 D，y′的顶点 为点 F．在新抛物线 y′的对称轴上，是否存在点 Q，使得 △FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线的解析式可变形为 y= （x+1）（x﹣3）， 从而可得到点 A 和点 B 的坐标，然后再求得点 E 的坐标， 设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 E 的坐标代入 求得 k 和 b 的值，从而得到 AE 的解析式； （2）设直线 CE 的解析式为 y=mx﹣ ，将点 E 的坐标代 入求得 m 的值，从而得到直线 CE 的解析式，过点 P 作 PF ∥y 轴，交 CE 与点 F．设点 P 的坐标为（x， x 2﹣ x ﹣ ），则点 F（x， x﹣ ），则 FP= x 2+ x．由三 角形的面积公式得到△EPC 的面积=﹣ x 2+ x，利用二 次函数的性质可求得 x 的值，从而得到点 P 的坐标，作点 K 关于 CD 和 CP 的对称点 G、H，连接 G、H 交 CD 和 CP 与 N、M．然后利用轴对称的性质可得到点 G 和点 H 的坐 标，当点 O、N、M、H 在条直线上时，KM+MN+NK 有最 小值，最小值=GH； （3）由平移后的抛物线经过点 D，可得到点 F 的坐标， 利用中点坐标公式可求得点 G 的坐标，然后分为 QG=FG
QG=QF,FQ=FQ三种情况求解即可 【解答】解:(1)∵y=8x2-2x-√, ∴y=3(x+1)(x-3) ∴A(-1,0),B(3,0). 当x=4时,y=5 ∴E(4,5/3 设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入 -k+b=0 得 53 4k+b 解得:k=3,b= ∴直线AE的解析式为y=x+y (2)设直线CE的解析式为y=mx-√3,将点E的坐标代 入得:4m-√=5√3,解得:m=28 ∴直线CE的解析式为y=2x-√3 过点P作PF∥y轴,交CE与点F 图1 设点P的坐标为(x,y3x2-2x-√3),则点F(x,2Bx 则FP=(2N5x-3)-(√3x2-23x-√3)=y5x2+45x 3 第35页共
第 35 页 共 249 页 QG=QF，FQ=FQ 三种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵y= x 2﹣ x﹣ ， ∴y= （x+1）（x﹣3）． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． 当 x=4 时，y= ． ∴E（4， ）． 设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 E 的坐标代入 得： ， 解得：k= ，b= ． ∴直线 AE 的解析式为 y= x+ ． （2）设直线 CE 的解析式为 y=mx﹣ ，将点 E 的坐标代 入得：4m﹣ = ，解得：m= ． ∴直线 CE 的解析式为 y= x﹣ ． 过点 P 作 PF∥y 轴，交 CE 与点 F． 设点 P 的坐标为（x， x 2﹣ x﹣ ），则点 F（x， x ﹣ ）， 则 FP=（ x﹣ ）﹣（ x 2﹣ x﹣ ）= x 2+ x．