Ao: 图2 ∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ为正 方形, ∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对 称轴上, 设Q(2,2n),则M坐标为(2-n,n), ∵点M在抛物线y=-1x2+2x+6的图象上, ∴n=-1(2-n)2+2(2-n)+6,解得n=-1+√17或n= ∴满足条件的点Q有两个,其坐标分别为(2,-2+217) 或(2,-2-2√17) 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、 相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分 类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用, 在(2)中构造三角形相似是解题的关键,注意有两种情 况,在(3)中确定出P、Q的位置是解题的关键.本题考 查知识点较多,综合性较强,难度适中 6.已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0) (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标 (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对 第16页共
第 16 页 共 249 页 ∵点 M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正 方形， ∴点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线的对 称轴上， 设 Q（2，2n），则 M 坐标为（2﹣n，n）， ∵点 M 在抛物线 y=﹣ x 2+2x+6 的图象上， ∴n=﹣ （2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得 n=﹣1+ 或 n=﹣ 1﹣ ， ∴满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2 ） 或（2，﹣2﹣2 ）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、 相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分 类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用， 在（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情 况，在（3）中确定出 P、Q 的位置是解题的关键．本题考 查知识点较多，综合性较强，难度适中． 6．已知抛物线 y=x2+bx﹣3（b 是常数）经过点 A（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对
称点为P'. ①当点P'落在该抛物线上时,求m的值; ②当点P'落在第二象限内,PA2取得最小值时,求m的值 【分析】1)把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值, 则可求得抛物线解析式,进一步可求得其顶点坐标; (2)①由对称可表示出P'点的坐标,再由P和P都在抛 物线上,可得到关于m的方程,可求得m的值;②由点 P在第二象限,可求得t的取值范围,利用两点间距离公 式可用t表示出PA2,再由点P在抛物线上,可以消去m, 整理可得到关于t的二次函数,利用二次函数的性质可求 得其取得最小值时t的值,则可求得m的值 【解答】解: (1)∵抛物线y=x2+bx-3经过点A(-1,0), ∴0=1-b-3,解得b=-2 ∴抛物线解析式为y=x2-2x-3, ∵y=x2-2x-3=(X-1)2-4, ∴抛物线顶点坐标为(1,-4); (2)①由P(m,t)在抛物线上可得t=m2-2m-3, ∵点P与P关于原点对称, ∴P′ t) ∵点P落在抛物线上, ∴-t=(-m)2-2(-m)-3,即t=-m2-2m+3, ∴m2-2m-3=-m2-2m+3,解得m=√3或m=-√3 第17页共
第 17 页 共 249 页 称点为 P'． ①当点 P'落在该抛物线上时，求 m 的值； ②当点 P'落在第二象限内，P'A2 取得最小值时，求 m 的值． 【分析】（1）把 A 点坐标代入抛物线解析式可求得 b 的值， 则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标； （2）①由对称可表示出 P′点的坐标，再由 P 和 P′都在抛 物线上，可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值；②由点 P′在第二象限，可求得 t 的取值范围，利用两点间距离公 式可用 t 表示出 P′A2，再由点 P′在抛物线上，可以消去 m， 整理可得到关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质可求 得其取得最小值时 t 的值，则可求得 m 的值． 【解答】解： （1）∵抛物线 y=x2+bx﹣3 经过点 A（﹣1，0）， ∴0=1﹣b﹣3，解得 b=﹣2， ∴抛物线解析式为 y=x2﹣2x﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①由 P（m，t）在抛物线上可得 t=m2﹣2m﹣3， ∵点 P′与 P 关于原点对称， ∴P′（﹣m，﹣t）， ∵点 P′落在抛物线上， ∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即 t=﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得 m= 或 m=﹣ ；
②由题意可知P′(-m,-t)在第二象限, 0,-t>0,即m>0,t<0 抛物线的顶点坐标为(1,-4), ∴-4≤t<0 ∵P在抛物线上, ∴m2-2m=t+3 ∵A(-1,0),P′(-m,-t), ∴PA2=(-m+1)2+(-t)2-m2-2m+1+t2=t2+t+4=(t1) 2415 4 ∴当t=-1时,PA2有最小值, ∴-1=m2-2m-3,解得m=2-1或m=2+14 m>0 m=2-14不合题意,舍去, m的值为2/1 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、 中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知 识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)①中求得 P'点的坐标,得到关于m的方程是解题的关键,在(2) ②中用t表示出PA2是解题的关键.本题考查知识点较多 综合性较强,难度适中 7.在同一直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2-2×-3与抛 物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B 第18页共
第 18 页 共 249 页 ②由题意可知 P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即 m＞0，t＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴﹣4≤t＜0， ∵P 在抛物线上， ∴t=m2﹣2m﹣3， ∴m2﹣2m=t+3， ∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t）， ∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t 2=t2+t+4=（t+ ） 2+ ； ∴当 t=﹣ 时，P′A2 有最小值， ∴﹣ =m2﹣2m﹣3，解得 m= 或 m= ， ∵m＞0， ∴m= 不合题意，舍去， ∴m 的值为 ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、 中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知 识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得 P′点的坐标，得到关于 m 的方程是解题的关键，在（2） ②中用 t 表示出 P′A2 是解题的关键．本题考查知识点较多， 综合性较强，难度适中． 7．在同一直角坐标系中，抛物线 C1：y=ax2﹣2x﹣3 与抛 物线 C2：y=x2+mx+n 关于 y 轴对称，C2 与 x 轴交于 A、B
两点,其中点A在点B的左侧 (1)求抛物线C1,C2的函数表达式 (2)求A、B两点的坐标; (3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否 存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q四点为 顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的 坐标;若不存在,请说明理由 【分析】(1)由对称可求得a、n的值,则可求得两函数 的对称轴,可求得m的值,则可求得两抛物线的函数表 达式 (2)由C2的函数表达式可求得A、B的坐标; (3)由题意可知AB只能为平行四边形的边,利用平行四 边形的性质,可设出P点坐标,表示出Q点坐标,代入 C2的函数表达式可求得P、Q的坐标 【解答】解: (1)∵C1、C2关于y轴对称, ∴C1与C2的交点一定在y轴上,且C1与C2的形状、大小 均相同, ∴a=1,n=-3, 第19页共
第 19 页 共 249 页 两点，其中点 A 在点 B 的左侧． （1）求抛物线 C1，C2 的函数表达式； （2）求 A、B 两点的坐标； （3）在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否 存在一点 Q，使得以 AB 为边，且以 A、B、P、Q 四点为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的 坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由对称可求得 a、n 的值，则可求得两函数 的对称轴，可求得 m 的值，则可求得两抛物线的函数表 达式； （2）由 C2 的函数表达式可求得 A、B 的坐标； （3）由题意可知 AB 只能为平行四边形的边，利用平行四 边形的性质，可设出 P 点坐标，表示出 Q 点坐标，代入 C2 的函数表达式可求得 P、Q 的坐标． 【解答】解： （1）∵C1、C2 关于 y 轴对称， ∴C1 与 C2 的交点一定在 y 轴上，且 C1 与 C2 的形状、大小 均相同， ∴a=1，n=﹣3
∴C1的对称轴为x=1 ∴C2的对称轴为x=-1, ∴m=2, ∴C1的函数表示式为y=x2-2X-3,C2的函数表达式为 y=x2+2x-3 (2)在C2的函数表达式为y=x2+2X-3中,令y=0可得x2+2x ,解得x=-3或x=1, ∴A(-3,0),B(1,0) (3)存在 ∵AB的中点为(-1,0),且点P在抛物线C1上,点Q 在抛物线C2上, ∴AB只能为平行四边形的一边, ∴PQ∥AB且PQ=AB, 由(2)可知AB=1-(-3)=4 . PQ=4 设P(t,t2-2t-3),则Q(t+4,t2-2t-3)或(t-4, t2-2t-3) ①当Q(t+4,t2-2t-3)时,则t2-2t-3=(t+4)2+2(t+4) 3,解得t=-2 ∴P(-2,5),Q(2,5); ②当Q(t-4,t2-2t-3)时,则t2-2t-3=(t-4)2+2 (t-4)-3,解得 ∴t2-2t-3=4-4-3=-3 第20页共
第 20 页 共 249 页 ∴C1 的对称轴为 x=1， ∴C2 的对称轴为 x=﹣1， ∴m=2， ∴C1 的函数表示式为 y=x2﹣2x﹣3，C2 的函数表达式为 y=x2+2x﹣3； （2）在 C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x 2+2x ﹣3=0，解得 x=﹣3 或 x=1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； （3）存在． ∵AB 的中点为（﹣1，0），且点 P 在抛物线 C1 上，点 Q 在抛物线 C2 上， ∴AB 只能为平行四边形的一边， ∴PQ∥AB 且 PQ=AB， 由（2）可知 AB=1﹣（﹣3）=4， ∴PQ=4， 设 P（t，t 2﹣2t﹣3），则 Q（t+4，t 2﹣2t﹣3）或（t﹣4， t 2﹣2t﹣3）， ①当 Q（t+4，t 2﹣2t﹣3）时，则 t 2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4） ﹣3，解得 t=﹣2， ∴t 2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5， ∴P（﹣2，5），Q（2，5）； ②当 Q（t﹣4，t 2﹣2t﹣3）时，则 t 2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2 （t﹣4）﹣3，解得 t=2， ∴t 2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3