3.3概率密度函数的性质 Properties of the probability) 、函数的期望值( Expectation) 定义 积分学第二中值定理 对连续函数x)和g(x),在区间|a,b上存在ξ,使得 ∫g(x)(x)=fa):(x)+/()(x)d g(3称为g(x)的积分中值(加权平均值),f(x)为权函数。 第一中值定理是第二中值定理在∫x)=1时的特例。 平均值可以指x2的、x的等等任意函数的平均值。 概率论中的平均值特指自变量x的加权平均值,即g(x)=x
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 一、函数的期望值（Expectation) 定义： 积分学第二中值定理 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a g x f x dx f a g x dx f b g x dx = + 对连续函数f(x)和g(x)，在区间[a, b]上存在ξ，使得 g(ξ)称为g(x)的积分中值（加权平均值），f(x)为权函数。 第一中值定理是第二中值定理在f(x)=1时的特例。 概率论中的平均值特指自变量x的加权平均值，即g(x)=x 平均值可以指x 2的、x 3的等等任意函数的平均值
3.3概率密度函数的性质 Properties of the probability) 如果把求平均值的运算E看作一个算符,它具有性质: 若a是常数,则 E(a)= ELaglrl=aeigu)l E|181(x)+a2g2(x)=a1E|g1x)+a2E|!2(x) 即,E是线性算符 函数的方差( Variance) 定义: [g(x)]=E{g(x)-E[8(x)}2 {g(x)-E(x)]}2f(x)d 意义: g(x)在其期望值周围的离散程度
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 如果把求平均值的运算E看作一个算符，它具有性质： 若a是常数，则 E(a)=a E[ag(x)]=aE[g(x)] E[a1g1 (x)+a2g2 (x)]=a1E[g1 (x)]+a2E[g2 (x)] 即，E是线性算符 函数的方差（Variance） 定义： − − g x E g x f x dx V g x E g x E g x { ( ) [ ( )]} ( ) [ ( )] { ( ) [ ( )]} 2 2 意义： g(x)在其期望值周围的离散程度
33概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 二、随机变量的平均值和方差( Mean value and variance) 如取g(x)=x,则得随机变量X的平均值和方差 平均值:=E(x)=[y(x) 方差:=(x)=B(x-)2=[1(x-p)x σ:随机变量X的标准偏差( Standard Deviation) 方差( Variance, Dispersion)物理意义 随机变量概率密度函数f(x)在期望值周围的离散程度,亦即由于随机的 统计性所造成的随极变量的取值在期望值附近的起伏的大小。 平均值与方差之间的关系: E(x-)2=E(x2-2x+)=E(x)2=E(x2){E(x)2 a2=E(x2)-|E(x)2 实验上常把物理量的测量结果表示成:土σ
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 二、随机变量的平均值和方差（Mean Value and Variance) 如取g(x)=x，则得随机变量X的平均值和方差 − − V x E x x f x dx E x x f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 平均值： 方差： ：随机变量X的标准偏差（Standard Deviation） 平均值与方差之间的关系： 2=E(x-) 2=E(x 2 -2x+ 2 )=E(x 2 )- 2=E(x 2 )-[E(x)]2 2=E(x 2 )-[E(x)]2 方差（Variance，Dispersion）物理意义： 随机变量概率密度函数f(x)在期望值周围的离散程度，亦即由于随机的 统计性所造成的随极变量的取值在期望值附近的起伏的大小。 实验上常把物理量的测量结果表示成：
33概率密度函数的性质 Properties of the probability) 三、矩( moment 定义: 对正整数k(k=1,2,…), uk=E(x)=Lx f(x)dx ←k阶原点矩 A=B(x-)3=(x-0f(x)t女k阶中心矩 分别称为随机变量X的k阶原点矩和中心矩 显然,随机变量X的平均值和方差分别为 = ←1阶原点矩 2=2<2阶中心矩
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 三、矩（moment) 定义： 对正整数k(k=1,2,…)， 分别称为随机变量X的k阶原点矩和中心矩。 − = − = E x x f x dx E x x f x dx k k k k k ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) 2 k阶原点矩 k阶中心矩 显然，随机变量X的平均值和方差分别为 2 2 1 ' = = 1阶原点矩 2阶中心矩
33概率密度函数的性质 Properties of the probability) 高阶矩用于研究在x较大时/x)的特性: 1.非对称系数,或偏度( Skewness 表征f(x)对平均值的不对称程度 1>0 E(x-F y<0 YI 3/2 3 2.峰度系数( Peakedness: fx)曲线的尖锐程度(与正态分布相比) y2>0 x=0 3 E(x-u) 3 630 均匀分布的峰度系数2=-1.2
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 3 3 3/ 2 2 3 1 ( ) ( ) − = E x 1=0 1<0 1>0 3 ( ) 3 ( ) 4 4 2 2 4 2 − − − = E x 2=0 2>0 2<0 高阶矩用于研究在|x-|较大时f(x)的特性： 1. 非对称系数，或偏度（Skewness): 2. 峰度系数（Peakedness): 表征f(x)对平均值的不对称程度 f(x)曲线的尖锐程度（与正态分布相比） 均匀分布的 峰度系数 2 = −1.2