《经济数学基础》课程教学资源：2005年数学一试题分析、详解和评注

文登学校 2005年数学一试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y2x+1 的斜渐近线方程为y=x 【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 【详解】因为a=lmnf(x)=imn b= lim [(x)-ax]=lim o (2x+1) 于是所求斜渐近线方程为y=x 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x→>∞时,极限 a=lmn(x)不存在,则应进一步讨论x→+或x→一的情形,即在右或左侧是否存 在斜渐近线 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P192【例732】 (2)微分方程xy'+2y=xhx满足y(1)=-的解为y=xhx9 【分析】直接套用一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式: 再由初始条件确定任意常数即可 【详解】原方程等价为 ln 于是通解为y=“hx2+C]=订x2hxd+ 由y(1)=一得C=0,故所求解为y=xhx1 【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也 可如下求解:原方程可化为 x2y+2xy=x2hx,即[x2y=x2hx,两边积分得

文登学校 1 2005 年数学一试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 2 1 2 + = x x y 的斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 y = x − 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= 2 1 2 lim ( ) lim 2 2 = + = → → x x x x f x x x ，   4 1 2(2 1) lim ( ) lim = − + − = − = → → x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 y = x − 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 x → 时，极限 x f x a x ( ) lim → = 不存在，则应进一步讨论 x → + 或 x →− 的情形，即在右或左侧是否存 在斜渐近线。 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】 （2） 微分方程 xy  + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y  + P(x) y = Q(x) 的通解公式：  +   = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2  + = ， 于是通解为   + =  +    = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C dx x dx x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也 可如下求解：原方程可化为 x y 2xy x ln x 2 2  + = ，即 [x y] x ln x 2 2  = ，两边积分得

文登学校 In xdx o 1 再代入初始条件即可得所求,\1x1 完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P154 (3)设函数l(x,y,z)=1+ 单位向量n=一(111,则 【分析】函数uxy2沿单位向量n={cosa,cosB,cosy}的方向导数为: coS a+coS B+cosy on 因此,本题直接用上述公式即可 【详解】因为如=x,a=y,a_三 3a6’a=9,是所求方向导数为 o 23)3√33333√33 【评注】本题若n={m,n,l}非单位向量,则应先将其单位化,从而得方向余弦为: cosa= cos B +n2+l m2+n2+ m+n 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P330【例1230】 (4)设2是由锥面z=√x2+y2与半球面z=√R2-x2-y2围成的空间区域,∑是 g2的整个边界的外侧,则xdhz+yta+dtcd=2m(1-)R 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球 面(或柱面)坐标进行计算即可 【详解】』「xdd+yd+h=dh =adel sin odo de=27(-)R

文登学校 2 x y = x xdx = x x − x + C  2 2 3 3 9 1 ln 3 1 ln ， 再代入初始条件即可得所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154 （ 3 ） 设函数 6 12 18 ( , , ) 1 2 2 2 x y z u x y z = + + + ， 单 位 向 量 {1,1,1} 3 1 n =  ， 则 n (1,2,3) u   = 3 3 . 【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n = {cos,cos ,cos  }的方向导数为： cos cos  cos z u y u x u n u   +   +   =   因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为 3 x x u =   ， 6 y y u =   ， 9 z z u =   ，于是所求方向导数为 n (1,2,3) u   = . 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1  +  +  = 【评注】 本题若 n  ={m,n,l} 非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为： cos , 2 2 2 m n l m + +  = cos , 2 2 2 m n l n + +  = 2 2 2 cos m n l l + +  = . 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.330【例 12.30】 （4）设  是由锥面 2 2 z = x + y 与半球面 2 2 2 z = R − x − y 围成的空间区域，  是  的整个边界的外侧，则   xdydz + ydzdx + zdxdy = 3 ) 2 2 2 (1− R . 【分析】本题  是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】   xdydz + ydzdx + zdxdy =   3dxdydz = ) . 2 2 3 sin 2 (1 3 2 0 0 4 0 2 d d d R R    = −        

文登学校 【评注】本题属基本题型,不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算,均应特别注 意计算的准确性,主要考查基本的计算能力 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P325【例1222】 (5)设a1,a2a3均为3维列向量,记矩阵 A=(a12a2a3),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3), 如果A=1,那么B=_2 【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可 【详解】由题设,有 B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3) (a1,az2,a3) 于是有B=4123=1×2=2 【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若 B1=a1a1+a12a2+…+a1nn B2=a2a1+a2C2+…+a2na B 则有 RB2…B]=[a…a1:a3 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P356【例15】 (6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,…,X中任取一个数,记为Y,则 P{Y=2}=13

文登学校 3 【评注】 本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注 意计算的准确性，主要考查基本的计算能力. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.325【例 12.22】 （5）设 1 2 3  , , 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = 1  2 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B =  1 + 2 + 3  1 +  2 +  3  1 +  2 +  3 ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B =  1 + 2 + 3  1 +  2 +  3  1 +  2 +  3 =           1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1  2  3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A  =  = 【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 1 = a111 + a12 2 ++ a1n n ，  2 = a211 + a22 2 ++ a2n n ，      m = am11 + am2 2 ++ amn n ， 则有    , , ,  . 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2             = n n mn m m m n a a a a a a a a a                完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例 1.5】 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,  , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2} = 48 13

文登学校 【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 【详解】P{=2}=P{X=P{Y=2X=1}+P{X=2P(Y=2X=2 +P{X=3P{Y=2X=3+P{X=4P{Y=2X=4} ×(0+++元)= 234 【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是 考查的重点 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P492【例1.32】 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数f(x)=lm《1+”,则f(x)在(-m+∞)内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 c 【分析】先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形 【详解】当<1时,f(x)=m+=1 当x=1时,f(x)=lm+1=1 当冈>1时,f(x)=lmx(B+1)=x 即f(x)={1,-1≤x≤1,可见fx)在x=±1时不可导,故应选C) x>1 【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P56【例2.20】 么入8)设Fx)是连续函数1x的一个原函数,"M台N表示“M的充分必要条件是N, (A)F(x)是偶函数fx)是奇函数 (B)F(x)是奇函数分→x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数→f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数→f(x)是单调函数 【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案 详解】方法一:任一原函数可表示为F(x)=D(M+C,且F(x)=f(x) 当F(x)为偶函数时,有F(-x)=F(x),于是F(-x)(-1)=F'(x),即-f(-x)=f(x)

文登学校 4 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y = 2}= P{X =1}P{Y = 2 X =1} + P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1  + + + = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是 考查的重点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.492【例 1.32】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ → ，则 f(x)在 (−,+) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 x 1 时， ( ) lim 1 1 3 = + = → n n n f x x ； 当 x =1 时， ( ) = lim 1+1 =1 → n n f x ； 当 x 1 时， 1) . 1 ( ) lim ( 3 1 3 3 x x f x x n n n = + = → 即 1. 1 1, 1, , 1, , ( ) 3 3  −    −     − = x x x x x f x 可见 f(x)仅在 x=  1 时不可导，故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例 2.20】 （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， "M  N" 表示“M 的充分必要条件是 N”， 则必有 (A) F(x)是偶函数  f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数  f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数  f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数  f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为  = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) ，且 F(x) = f (x). 当 F(x)为偶函数时，有 F(−x) = F(x) ，于是 F(−x)(−1) = F(x) ，即 − f (−x) = f (x)

文登学校 也即f(-x)=-f(x),可见fx为奇函数:反过来,若f(x为奇函数,则[f(1)dt为偶函 数,从而F(x)=f()dm+C为偶函数,可见(A)为正确选项 方法二:令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C),令f(x)=x,则取F(x)=x2,排除(D) 故应选(A) 【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思 考fx)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P10【例1.5-17】 (9)设函数(x,y)=0(x+y)+0x-y)+u()m,其中函数q具有二阶导数 y具有一阶导数,则必有 (A) au au a2(B)a_02u ax2 au a andy ax 【分析】先分别求出9a2ua2u,再比较答案即可 andy 【详解】因为x='(x+y)+p(x-y)+v(x+y)-y(x-y) ovsp'(x+y)-o'(x-y)+u(x+y)+u(x-y 于是 =φ"(x+y)+q(x-y)+v'(x+y)-v(x-y), a-u ardy(x+)-(x-y)+y'(x+y)+y'(x-y) a2=o"(x+y)+q"(x-y)+y(x+y)-v'(x-y) 可见有 ,应选(B 【评注】本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为 做题技巧,也可取()=t2,y(m)=1,则l(x,y)=2x2+2y2+2y,容易验算只有

文登学校 5 也即 f (−x) = − f (x) ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则  x f t dt 0 ( ) 为偶函 数，从而  = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= 2 2 1 x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思 考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系？ 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例 1.5~1.7】 （9）设函数  + − = + + − + x y x y u(x, y) (x y) (x y)  (t)dt , 其中函数  具有二阶导数，  具有一阶导数，则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u   = −   . （B） 2 2 2 2 y u x u   =   . (C) 2 2 2 y u x y u   =    . (D) 2 2 2 x u x y u   =    . [ B ] 【分析】 先分别求出 2 2 x u   、 2 2 y u   、 x y u    2 ，再比较答案即可. 【详解】 因为 (x y) (x y) (x y) (x y) x u =  + +  − + + − −       ， (x y) (x y) (x y) (x y) y u =  + −  − + + + −       ， 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y x u =  + +  − +  + −  −       ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y x y u =  + −  − +  + +  −        ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y y u =  + +  − +  + −  −       ， 可见有 2 2 2 2 y u x u   =   ，应选(B). 【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为 做题技巧，也可取 ( ) , ( ) 1 2  t = t  t = ，则 u(x, y) 2x 2y 2y 2 2 = + + ，容易验算只有