2004年数学三试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) sIn x (1)若ln (cosx-b)=5,则a=1,b=-4 x→0 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题 【详解】因为lin (cosx-b)=5,且 lim sin x·(cosx-b)=0,所以 im(e2-a)=0,得a=1.极限化为 x→0 lim(cosx-b=lm(cosx-b)=1-b=5,b=-4 x-0x 因此 【评注】一般地,已知m(x) 1)若g(x)→>0,则∫(x)→0 (2)若f(x)→0,且A≠0,则g(x)→0 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例160,P43第1(3)题,P44第2(10)题 第6题,《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34,《数学三临考演习》P79第7题 《考研数学大串讲》P12例17、19 (2)设函数f(u,v)由关系式∫[xg(y),y=x+g(y)确定,其中函数g()可微,且g()≠0, g(v) 8(v) 【分析】令u=xg(),v=y,可得到f(u,v)的表达式,再求偏导数即可 【详解】令n=x(0),y=y,则(x,)=2-+g() 所以, u g(v)dudu 8(v) 【评注】本题属基本题型 类似例题在一般教科书上均可找到 (3)设f(x)= 则|1f(x-1)dx= 【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可
1 2004 年数学三试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = 1 ，b = − 4 . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 − = → x x b x ，所以 lim ( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. 【评注】一般地，已知 ( ) ( ) lim g x f x ＝ A， (1) 若 g(x) → 0，则 f (x) → 0； (2) 若 f (x) → 0，且 A 0，则 g(x) → 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36 例 1.60，P43 第 1(3)题，P44 第 2(10)题、 第 6 题，《数学题型集粹与练习题集》P19 例 1.34，《数学三临考演习》P79 第 7 题， 《考研数学大串讲》P12 例 17、19. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0， 则 ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f = − . 【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) = ( ) ( ) g v g v u + ， 所以， ( ) 1 u g v f = ， ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f = − . 【评注】 本题属基本题型. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设 − − = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 ( 1) 2 2 1 − = − f x dx . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可
【详解】令x-1=1,J1f(x-1dx=1f()=」1f(x)dt xeax+]i(-l)d=0+(-)= 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例417,《数学三临考演习》P1 第2题,P68第15题,《考研数学大串讲》P4例14 (4)二次型∫(x,x2x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为2 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换 或配方法均可得到答案 【详解一】因为f(x,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x)2+(x3+x) 2x2+2x2+2xx2+2xx3-2 于是二次型的矩阵为4=12-1 l-12 由初等变换得 A→03-3-03-3 03-3)(000 从而r(A)=2,即二次型的秩为2 【详解二】因为f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 =2x+2x2+2x3+2x1x2+2xx3-2x2x3 =2(x1+ x3)2+(x2-x3)2 其中 y1=x1+x2+x3,y2=x2-x 所以二次型的秩为2 【评注】完全类似的例题见《数学复习指南》P379例61,而原题可见文登数学辅导班上讲 授的例子 (5)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则P{X>√DX} 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案
2 【详解】令 x − 1 = t， − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = − − x e dx dx x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96 例 4.17，《数学三临考演习》P61 第 2 题，P68 第 15 题，《考研数学大串讲》P41 例 14. (4) 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 于是二次型的矩阵为 − = − 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A , 由初等变换得 − − → − − − → 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 3 0 3 3 1 1 2 A , 从而 r(A) = 2, 即二次型的秩为 2. 【详解二】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 2 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 3 ) 2 1 2 1 = 2(x + x + x + x − x 2 2 2 1 2 3 = 2y + y , 其中 , 2 1 2 1 1 1 2 3 y = x + x + x 2 2 3 y = x − x . 所以二次型的秩为 2. 【评注】完全类似的例题见《数学复习指南》P.379 例 6.1, 而原题可见文登数学辅导班上讲 授的例子. (5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X DX } = e 1 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案
详解】由于DX=,X的分布函数为 F(x)= 0. 故 PX>√Dx}=1-PX≤√DX}=1-P{X≤}=1-F()= 【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型 (6)设总体X服从正态分布N(,a2),总体Y服从正态分布N(2,a2), X1,Xx2,…Xm和H1,H2…2分别是来自总体X和Y的简单随机样本则 ∑(x-X)+∑( E 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案 【详解】因为E X1-X)2]=a2,E (1-1)2]=a 故应填σ 【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查 完全类似的例题见《数学复习指南》P492例52,《数学三临考演习》P13第一大题的 第6小题或文登数学辅导班上讲授的例子 选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)函数∫(x)= x sin(x-2) 在下列哪个区间内有界 x(x-1)(x-2) (A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(1,2) 【分析】如∫(x)在(a,b)内连续,且极限imf(x)与limf(x)存在,则函数f(x) 在(a,b)内有界 【详解】当x≠0,1,2时,f()连续,而m,f(x)=-53 f(x) x→-1 18 sin 2 lim f(x) f(x)=∞,limf(x)=∞
3 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为 − = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X DX } = 1− P{X DX } = − } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体 X 服从正态分布 ( , ) 2 1 N μ σ , 总体 Y 服从正态分布 ( , ) 2 2 N μ σ , 1 , , X1 X2 Xn 和 2 , , Y1 Y2 Yn 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 σ n n X X Y Y E n j j n i i = + − − + − = = . 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 【详解】因为 2 1 2 1 ( ) ] 1 1 [ 1 X X σ n E n i i − = − = , 2 1 2 2 ( ) ] 1 1 [ 2 Y Y σ n E n j j − = − = , 故应填 2 σ . 【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查. 完全类似的例题见《数学复习指南》P.492 例 5.2, 《数学三临考演习》P.13 第一大题的 第 6 小题或文登数学辅导班上讲授的例子. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin 3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = → lim ( ) 1 f x x ， = → lim ( ) 2 f x x
所以,函数f(x)在(-1,0)内有界,故选(A) 【评注】一般地,如函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界 如函数∫(x)在开区间(a,b)内连续,且极限lmf(x)与lmf(x)存在,则函数f(x) 在开区间(a,b)内有界 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例110,《数学三临考演习》P51 第15题 (8)设f(x)在(-,+∞)内有定义,且lmnf(x)=a (x) 3≠0 (A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点 (C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关 I D 【分析】考查极限lg(x)是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元≈1 可将极限lmg(x)转化为lmf(x) 【详解】因为lmg(x)=limf(-)=lmf()=a令l=-),又g(O)=0,所以 当a=0时,img(x)=g(0),即g(x)在点x=0处连续,当a≠0时, img(x)≠g(0),即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性 与a的取值有关,故选(D) 【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性 完全类似的例题见《数学复习指南》P41例170,《数学题型集粹与练习题集》P20例135. (A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点 (B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点 【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况 考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况 【详解】设0<8<1,当x∈(-8,0)∪(0,δ)时,f(x)>0,而f(O)=0,所以x=0是f(x) 的极小值点 显然,x=0是f(x)的不可导点.当x∈(-8,0)时,f(x)=-x(1-x),f"(x)=2>0, 当x∈(0,δ)时,f(x)=x(1-x),∫"(x)=-2<0,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 故选(C 【评注】对于极值情况,也可考查∫(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9,《考研数学大串讲》P96例5
4 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则 f (x)在闭区间[a , b]上有界； 如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在开区间(a , b)内有界. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4 例 1.10，《数学三临考演习》P51 第 15 题. (8) 设 f (x)在(− , +)内有定义，且 f x a x = → lim ( ) ， = = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限 lim ( ) 0 g x x→ 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 x u 1 = ， 可将极限 lim ( ) 0 g x x→ 转化为 lim f (x) x→ . 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→ = = = a(令 x u 1 = )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41 例 1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20 例 1.35. (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 < < 1，当 x (− , 0) (0 , )时，f (x) > 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x (− , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f (x) = 2 0 ， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 − x)， f (x) = −2 0 ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141 例 6.9，《考研数学大串讲》P96 例 5
(10)设有下列命题: (1)若∑(l2n1+m2n)收敛,则∑4n收敛 )若∑n收敛,则∑un+00收敛 (3)若m+>1,则∑发散 (4)若∑(n+n)收敛,则∑v,∑都收敛 则以上命题中正确的是 (A)(1)(2) (B)(2)(3) (C)(3)(4) (D)(1)(4) B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性 【详解】(1)是错误的,如令ln=(-1)”,显然,∑n分散,而∑(l2n=1+2n)收敛 2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性 (3)是正确的,因为由lm>1可得到an不趋向于零(n→),所以∑n发散 (4是错误的,如令xn=1,m=-1,显然,∑n,∑n都发散,而 ∑(un+vn)收敛.故选(B n=1 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型 类似的命题在一般教科书上均可找到 (11)设∫(x)在[a,b]上连续,且∫(a)>0,f(b)<0,则下列结论中错误的是 (A)至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)>f(a (B)至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)>f(b) (C)至少存在一点x∈(a,b),使得∫(x0)=0 (D)至少存在一点x∈(a,b),使得∫(x0)=0 D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项 【详解】首先,由已知f(x)在[a,b上连续,且f(a)>0,f(b)<0,则由介值定理
5 (10) 设有下列命题： (1) 若 = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收敛，则 n=1 n u 收敛. (2) 若 n=1 n u 收敛，则 = + 1 1000 n un 收敛. (3) 若 lim 1 1 + → n n n u u ，则 n=1 n u 发散. (4) 若 = + 1 ( ) n n n u v 收敛，则 n=1 n u ， n=1 n v 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令 n un = (−1) ，显然， n=1 n u 分散，而 = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由 lim 1 1 + → n n n u u 可得到 n u 不趋向于零(n → )，所以 n=1 n u 发散. (4)是错误的，如令 n v n un n 1 , 1 = = − ，显然， n=1 n u ， n=1 n v 都发散，而 = + 1 ( ) n n n u v 收敛. 故选(B). 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. 类似的命题在一般教科书上均可找到. (11) 设 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 . (D) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. [ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则由介值定理