2004年数学一试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y=nx上与直线x+y=1垂直的切线方程为y=x-1 【分析】本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=nx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】由y=(xy=1=1,得x×1,可见切点为(10),于是所求的切线方程为 y-0=1(x-1),即y 【评注】本题也可先设切点为(xnx),曲线ymx过此切点的导数为yb1,得x0=1, 由此可知所求切线方程为y-0=1(x-1),即y=x-1 本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到 (2)已知f'e2)=xe-,且f()=0,则fx)=(hx)2 【分析】先求出∫(x)的表达式,再积分即可。 【详解】令ex=t,则x=ht,于是有 ∫()=x,即f(x)=hx 积分得f(x)=a=(hx)2+C.利用初始条件f1)=0,得C=0,故所求函数为fx)=(hx) 【评注】本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分 完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题,P90第1题 (3)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分,则曲线积分xd小y-2ya的值为x 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。 【详解】正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分,可表示为 于是「x-2yk=[12coO.y2os+22smO.√2sm 2sin 20de 【评注】本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法 化为定积分计算即可 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学大串讲》P122例5、例7
1 2004 年数学一试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 y=lnx 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为 y = x −1. 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。 【详解】 由 1 1 = (ln ) = = x y x ，得 x=1, 可见切点为 (1,0) ，于是所求的切线方程为 y − 0 = 1(x −1)， 即 y = x −1. 【评注】 本题也可先设切点为 ( ,ln ) 0 0 x x ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为 1 1 0 0 = = = x y x x ，得 x0 = 1， 由此可知所求切线方程为 y − 0 = 1(x −1)， 即 y = x −1. 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知 x x f e xe − ( ) = ，且 f(1)=0, 则 f(x)= 2 (ln ) 2 1 x . 【分析】 先求出 f (x) 的表达式，再积分即可。 【详解】 令 e t x = ，则 x = ln t ，于是有 t t f t ln ( ) = ， 即 . ln ( ) x x f x = 积分得 dx x C x x f x = = + 2 (ln ) 2 ln 1 ( ) . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= 2 (ln ) 2 1 x . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》P89 第 8 题, P90 第 11 题. （3）设 L 为正向圆周 2 2 2 x + y = 在第一象限中的部分，则曲线积分 − L xdy 2ydx 的值为 2 3 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周 2 2 2 x + y = 在第一象限中的部分，可表示为 . 2 : 0 2 sin , 2 cos , → = = y x 于是 xdy ydx d L 2 [ 2 cos 2 cos 2 2 sin 2 sin ] 2 0 − = + = . 2 3 2sin 2 0 2 + = d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法 化为定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143 例 10.11，《考研数学大串讲》P122 例 5、例 7
(4)欧拉方程x24y+4x a+2y=0(x>0)的通解为y=+ 【分析】欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换x=e化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】令x=e,则如=如.=c=1中 dt x dt ￠,1d2y,d_1d2yh x2 dt x dt2 dx x2 dtdt 代入原方程,整理得 解此方程,得通解为y=ce-+c2e-=s 【评注】本题属基础题型,也可直接套用公式,令x=e',则欧拉方程 d 小 可化为 +b+cy=f(e) dt- dt dt 完全类似的例题见《数学复习指南》P171例619,《数学题型集粹与练习题集》P342第六题,《考研数 学大串讲》P75例12 (5)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵 则|B 【分析】可先用公式AA=|4E进行化简 【详解】已知等式两边同时右乘A,得 ABAA=2BAA+A,而A=3,于是有 3AB=6B+A, E (3A-6E)B=A 再两边取行列式,有34-6EB==3 而|34-6E=27,故所求行列式为|B= 【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵A,一般均应先利用公式
2 （4）欧拉方程 4 2 0( 0) 2 2 2 + + y = x dx dy x dx d y x 的通解为 2 1 2 x c x c y = + . 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 t x = e 化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令 t x = e ，则 dt dy dt x dy e dx dt dt dy dx dy t 1 = = = − ， [ ] 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 dt dy dt d y dx x dt dt d y dt x dy dx x d y = − + = − ， 代入原方程，整理得 3 2 0 2 2 + + y = dt dy dt d y ， 解此方程，得通解为 . 2 2 1 2 1 2 x c x c y c e c e t t = + = + − − 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 t x = e ，则欧拉方程 ( ) 2 2 2 cy f x dx dy bx dx d y ax + + = ， 可化为 [ ] ( ). 2 2 t cy f e dt dy b dt dy dt d y a − + + = 完全类似的例题见《数学复习指南》P171 例 6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342 第六题.，《考研数 学大串讲》P75 例 12. （5）设矩阵 = 0 0 1 1 2 0 2 1 0 A ，矩阵 B 满足 ABA = BA + E * * 2 ，其中 * A 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， 则 B = 9 1 . 【分析】 可先用公式 A A = AE * 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘 A，得 ABA A = BA A+ A * * 2 ， 而 A = 3 ，于是有 3AB = 6B + A， 即 (3A − 6E)B = A， 再两边取行列式，有 3A− 6E B = A = 3， 而 3A− 6E = 27 ，故所求行列式为 . 9 1 B = 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 * A ，一般均应先利用公式
AA=A=4E进行化简 完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2,P118例9 (6)设随机变量X服从参数为A的指数分布,则P{X>DH=1 【分析】已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。 【详解】由题设,知DX=,于是 P{X>√DX}=P{X> Medx 【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内) 7)把x→0时的无穷小量Q=dB=mym=sm广,使排在后面的是前一个 的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)a,B,r.(B)a,r,.(C)B,a,r.(D) B,r,a 【分析】先两两进行比较,再排出次序即可 【详解】mB tan√tdt tan x. 2x lim =0,可排除(C)、①D选项 cost dt x→0cosx sin tdt simr I 又 lim = lim tan√tdt 2x tan =lm2=∞,可见y是比B低阶的无穷小量,故应选(B 【评注】本题是无穷小量的比较问题,也可先将a,B,y分别与x"进行比较,再确定相互的高低次序 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题 (8)设函数fx)连续,且f(0)>0,则存在δ>0,使得 (A)f(x)在(0,δ)内单调增加 (B)f(x)在(-,0)内单调减少 (C)对任意的x∈(0,。6)有f(x)>f(0) (D)对任意的x∈(-6,0)有fx)>f(0) [C I 【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A)(B选项,再利用导
3 A A = AA = AE * * 进行化简。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2，P118 例 9 （6）设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P{X DX } = e 1 . 【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知 2 1 DX = ，于是 P{X DX }= P X e dx x + − = } 1 1 { = . 1 1 e e x − = + − 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35 第 5 题. 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内） （7）把 → + x 0 时的无穷小量 t dt tdt t dt x x x = = = 0 3 0 0 2 cos , tan , sin 2 ，使排在后面的是前一个 的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) , , . (B) , , . (C) ,, . (D) , , . [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】 0 cos tan 2 lim cos tan lim lim 2 0 0 2 0 0 0 2 = = = → + → + → + x x x t dt tdt x x x x x ，可排除(C),(D)选项， 又 x x x x tdt t dt x x x x x 2 tan 2 1 sin lim tan sin lim lim 2 3 0 0 0 3 0 0 2 = = → + → + → + = = → + 2 0 lim 4 1 x x x ，可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 , , 分别与 n x 进行比较，再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 9 题. （8）设函数 f(x)连续，且 f (0) 0, 则存在 0 ，使得 (A) f(x)在（0， ) 内单调增加. （B）f(x)在 (− ,0) 内单调减少. (C) 对任意的 x (0, ) 有 f(x)>f(0) . (D) 对任意的 x (− ,0) 有 f(x)>f(0) . [ C ] 【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导
数的定义及极限的保号性进行分析即可 【详解】由导数的定义,知 r(0)=lim/(x)-/(0) 根据保号性,知存在δ>0,当x∈(-,0)∪(0,δ)时,有 f(x)-f(0) 即当x∈(-6,0)时,f(x)<f(0),而当x∈(0,)时,有fx)>f(0).故应选(C 【评注】题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题. (9)设an为正项级数,下列结论中正确的是 (A)若 lm na,=0,则级数∑an收敛 (B)若存在非零常数,使得mman=元,则级数∑an发散 (C)若级数∑an收敛,则 lim n-a=0 (D)若级数∑an发散,则存在非零常数,使得lmmn=λ B 【分析】对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】取a,=n如n,则mn,=0,但∑an=2n发散,排除(A,(D 又取a, 则级数∑an收敛,但mn2an=∞,排除(C,故应选(B 【评注】本题也可用比较判别法的极限形式 immn=m"=≠0,而级数∑发散,因此级数∑an也发散,故应选(B) n 完全类似的例题见《数学复习指南》P213例813. (0)设自)为连续函数,F()=「小∫(x)d,则F(2)等于 (A)2f(2) (B)f(2) (C)-f(2) (D)0 【分析】先求导,再代入t2求F'(2)即可。关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变 量
4 数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义，知 0 ( ) (0) (0) lim 0 − = → x f x f f x ， 根据保号性，知存在 0 ，当 x (− ,0) (0, ) 时，有 0 ( ) (0) − x f x f 即当 x (− ,0) 时，f(x)<f(0); 而当 x (0, ) 时，有 f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 10 题. （9）设 n=1 n a 为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若 n n na → lim =0，则级数 n=1 n a 收敛. （B） 若存在非零常数 ，使得 = → n n lim na ，则级数 n=1 n a 发散. (C) 若级数 n=1 n a 收敛，则 lim 0 2 = → n n n a . (D) 若级数 n=1 n a 发散, 则存在非零常数 ，使得 = → n n lim na . [ B ] 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】 取 n n an ln 1 = ，则 n n na → lim =0，但 = = = 1 1 ln 1 n n n n n a 发散，排除(A)，(D)； 又取 n n an 1 = ，则级数 n=1 n a 收敛，但 = → n n n a 2 lim ，排除(C), 故应选(B). 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， 0 1 lim = lim = → → n a na n n n n ，而级数 =1 1 n n 发散，因此级数 n=1 n a 也发散，故应选(B). 完全类似的例题见《数学复习指南》P213 例 8.13. （10）设 f(x)为连续函数， = t t y F t dy f x dx 1 ( ) ( ) ，则 F(2) 等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导，再代入 t=2 求 F(2) 即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变 量 t
【详解】交换积分次序,得 F()=小(x)-可(x=∫/(xx-1 于是,F'(t)=f()t-1),从而有F(2)=f(2),故应选(B 【评注】在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x: mo=x)(x)-1a(x)(x) 否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量ⅹ换到积分号外或积分线上 完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12,先交换积分次序再求导 (1〕)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C 的可逆矩阵Q为 010 010 A)|100 (C)|100 101 00 011 1001 【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵 而Q即为此两个初等矩阵的乘积。 【详解】由题设,有 010 100|=B,B011=C 001 1001 010100 011 于是 A100011=A100|=C 001100 001 可见,应选(D 【评注】涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例22 (12)设AB为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 【分析】A,B的行列向量组是否线性相关,可从AB是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解 进行分析讨论 【详解1】设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,则由AB=O知, r(A)+r(B)<n 又AB为非零矩阵,必有A)>0r(B>0.可见rA)<nr(BKn,即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相 关,故应选(A) 【详解2】由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,而B为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A的 列向量组线性相关
5 【详解】 交换积分次序，得 = t t y F t dy f x dx 1 ( ) ( ) = = − t x t f x dy dx f x x dx 1 1 1 [ ( ) ] ( )( 1) 于是， F(t) = f (t)(t −1) ，从而有 F(2) = f (2) ，故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: = − ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) b x a x f t dt f b x b x f a x a x 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P184 例 12，先交换积分次序再求导. （11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 (A) 1 0 1 1 0 0 0 1 0 . (B) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 . (C) 0 1 1 1 0 0 0 1 0 . (D) 0 0 1 1 0 0 0 1 1 . [ D ] 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵， 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积。 【详解】由题设，有 A = B 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ， B = C 0 0 1 0 1 1 1 0 0 ， 于是， . 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A A = C = 可见，应选(D). 【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196 例 2.2 （12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ] 【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解 进行分析讨论. 【详解 1】 设 A 为 mn 矩阵，B 为 ns 矩阵，则由 AB=O 知， r(A) + r(B) n . 又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相 关，故应选(A). 【详解 2】 由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的 列向量组线性相关