§4.2 ETOPOB定理 在数学分析中,我们己经知道,即使函数列在每一点收敛,也不能保证一致 收敛,因此,对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言,更谈不上一致收敛。 例如f(x)=x”处处0于,却不一致收敛。究其原因是自变量越靠近0越收 敛速度慢,只有更慢没有最慢,从而不可能一致收敛。但不难看出,只要挖去 个以1为右端点的小区间(1-6,1)后就有收敛最慢点x=1-8了,从而可以保 证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果落夫( ETOPOB)任何可测函数都有 类似结果,即有下述定理成立。 定理4.2.1( ETOPOB)若亚<+∞,f(x),f(x)在E上几乎处处限 且可测,并f(x) f(x)于E,则对任意δ>0,3可测集FE,m(E-F) <δ,满足f,(x) f(x)于F5。 证明第一步:对给定δ>0,构造F由定理4.3.1中(4.3.1)式知 对有 limmU E[fn(x)-f(x)|≥]=0,对v6>0,3N4> 0,m∪Efn(x)-f(x)1≥]≤,于是对任意6>0,3F=E U∪Efn(x)-f(x)≥J=∩∩Efn(x)-f(x)|<],EF k=l n=Nk E[fn(x)-f(x)|≥]故mEF6)<∑ 6=6 第二步:证明f。(x)一致f(x)于F6 对E>0,彐k满足 kSe,即彐Nk,对任意的x∈F,即x∈F= E[If(x)-f(x)< 11,当n≥N时,fn(x)-f(x)<<e,即fn(x) f(x)于F
§４.2 ЕгОРОВ 定理 在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致 收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛。 例如 f n (x)=x n →+∞ → n 处处 0 于[01)，却不一致收敛。究其原因是自变量越靠近 0 越收 敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但不难看出，只要挖去一 个以 1 为右端点的小区间（1-δ，1）后就有收敛最慢点 x=1-δ 了，从而可以保 证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有 类似结果，即有下述定理成立。 定理４.2.1 (ЕгОРОВ)若 mE＜＋∞，f n (x)，f(x)在 E 上几乎处处限 且可测，并 f n (x) a e n .. → →+∞ f(x)于 E，则对任意 δ＞0，ョ可测集 Fδ ⊂ E，m(E-F δ ) ＜δ，满足 f n (x) 一致 n →→ ∞ f(x)于 F δ 。 证明 第一步：对给定 δ＞0，构造 F δ 由定理４.３.１中(４.３.１)式知： 对∀ k 1 有 N→∞ lim mU ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝0，对∀ δ＞0， ョ N k ＞ 0， m U ∞ n=Nk E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]≤ k 2 δ ，于是对任意 δ＞0，ョ F δ ＝E－ U ∞ k=1 U ∞ n=Nk E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝I ∞ k=1 I ∞ n=Nk E[|f n (x)－f(x)|< k 1 ] ，E-F δ ＝ U ∞ k=1 U ∞ n=Nk E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ] 故 m(E-Fδ )＜∑ ∞ n=1 n 2 δ ＝δ 第二步：证明 f n (x) 一致 n →→ ∞ f(x)于 Fδ 对∀ ε＞0，ョ k 满足 k 1 ＜ε，即ョ N k ，对任意的 x∈F，即 x∈F δ ＝ I ∞ k=1 I ∞ n=Nk E[|f n (x)－f(x)|< k 1 ] ，当 n≥N k 时，|f n (x)－f(x)|＜ k 1 ＜ε，即 f n (x) 一致 n →→ ∞ f(x)于 F δ
定义4.2.1若对任意δ>0,彐可测集F6E满足m(E-F6)<6 f(x)-致f(x)于F,则称f(x)在E上近一致收敛于f(x)。记为 fn(x)近一致f(x)于E,或fn(x)af(x)于E。 叶果落夫定理说明在皿E<+∞条件下,几乎处处收敛的函数列是近一致收 敛的,下述逆定理则说明近一致收敛无条件地保证几乎处处收敛 定理4.2.2若fn(x)af(x),则f(x)-”)f(x)ae于 证明留给读者自己完成
定义４.2.1 若对任意 δ＞0，ョ可测集 Fδ ⊂ E 满足 m(E-Fδ )＜δ， f n (x) 一致 n →→ ∞ f(x)于 Fδ ，则称 f n (x)在 E 上近一致收敛于 f(x)。记为 f n (x) 近一致 n →→ ∞ f(x)于 E，或 f n (x) a.u n →→ ∞ f(x)于 E。 叶果落夫定理说明在 mE＜＋∞条件下，几乎处处收敛的函数列是近一致收 敛的，下述逆定理则说明近一致收敛无条件地保证几乎处处收敛。 定理４.2.2 若 f n (x) a.u n →→ ∞ f(x)，则 f n (x) n →→ ∞ f(x) a.e 于 E。 证明留给读者自己完成