2004年数学四试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) sIn x (1)若ln (cosx-b)=5,则a=1,b=-4 x→0 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题 【详解】因为lin (cosx-b)=5,且 lim sin x·(cosx-b)=0,所以 im(e2-a)=0,得a=1.极限化为 x→0 lim(cosx-b=lm(cosx-b)=1-b=5,b=-4 x-0x 因此,a=1,b=-4 【评注】一般地,已知lmf(x 1)若g(x)→>0,则∫(x)→0 (2)若f(x)→0,且A≠0,则g(x)→0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例160,P43第1(3)题,P44第2(10)题 第6题,《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34,《数学四临考演习》P79第7题 《考研数学大串讲》P12例17、19 (2)设y= arctan e-h dy 【分析】本题为基础题型,先求导函数即可 详解】因为y=atnc2-x+he2+,y=°x-1+ 【评注】本题属基本题型,主要考查复合函数求导 类似例题在一般教科书上均可找到 (3)设f(x)= 则|1f(x-1)dx= 【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可 【详解】令x-1=1,[1f(x-1)dx=1f(n)d=1f(x)dt
1 2004 年数学四试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = 1 ，b = − 4 . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 − = → x x b x ，所以 lim ( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. 【评注】一般地，已知 ( ) ( ) lim g x f x ＝ A ， (1) 若 g(x) → 0，则 f (x) → 0； (2) 若 f (x) → 0，且 A 0，则 g(x) → 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36 例 1.60，P43 第 1(3)题，P44 第 2(10)题、 第 6 题，《数学题型集粹与练习题集》P19 例 1.34，《数学四临考演习》P79 第 7 题， 《考研数学大串讲》P12 例 17、19. (2) 设 1 arctan ln 2 2 + = − x x x e e y e ，则 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . 【分析】本题为基础题型，先求导函数即可. 【详解】因为 ln( 1) 2 1 arctan 2 = − + + x x y e x e ， 1 1 1 2 2 2 + − + + = x x x x e e e e y ， 所以， 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设 − − = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 ( 1) 2 2 1 − = − f x dx . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令 x − 1 = t， − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt
21xeax+i1(-1x=0+(-3)=- 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例417,《数学四临考演习》P6第2题, P68第15题,《考研数学大串讲》P41例14 0-10 (4)设A=100,B=P-AP,其中P为三阶可逆矩阵,则 B20-2A2=030 00-1 【分析】将B的幂次转化为A的幂次,并注意到A2为对角矩阵即得答案 【详解】因为 A2=0-10.B20=P1A0P 001 B204=P(A P=PEP=E 300 200-2A42=030 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查 完全类似的例题可见《数学复习指南》P291例213 (5)设A=(a)2是实正交矩阵,且a1=1,b=(10),则线性方程组Ax=b的解是 (100) 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果 【详解】因为x=Ab,而且A=(a)是实正交矩阵,于是A=A2,A的每一个行 (列)向量均为单位向量,所以 x=ab=ab a13)(0 【评注】本题主要考査正交矩阵的性质和矩阵的运算. 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版世界图书出版公司)P74例33
2 ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = − − x e dx dx x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96 例 4.17，《数学四临考演习》P61 第 2 题， P68 第 15 题，《考研数学大串讲》P41 例 14. （4） 设 − − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A ， B P AP −1 = ，其中 P 为三阶可逆矩阵, 则 − = 2004 2 B 2A 0 0 −1 0 3 0 3 0 0 ． 【分析】 将 B 的幂次转化为 A 的幂次, 并注意到 2 A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为 − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 A , B P A P 2004 −1 2004 = . 故 B = P A P = P EP = E 2004 −1 2 1002 −1 ( ) , − = 2004 2 B 2A 0 0 −1 0 3 0 3 0 0 . 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查． 完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291 例 2.13. (5) 设 ( ) 33 A = aij 是实正交矩阵，且 a11 =1， T b = (1,0,0) ，则线性方程组 Ax = b 的解是 T (1,0,0) ． 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 x A b −1 = , 而且 ( ) 33 A = aij 是实正交矩阵, 于是 −1 A = A T , A 的每一个行 (列)向量均为单位向量, 所以 = = = = − 0 0 1 13 12 11 1 a a a x A b A b T . 【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算． 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002 版, 世界图书出版公司) P.174 例 33
(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则P{X>√DX} 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案 【详解】由于DX=,X的分布函数为 F(x) 00 故 P(X>VDX)=1-P(X<VDX)=1-P(X53)=1-5)7 【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)函数f(x)= Lx sin( x-2) 在下列哪个区间内有界 x(x-1)(x-2) (C)(1,2) (D)(2,3) A 【分析】如∫(x)在(a,b)内连续,且极限im.f(x)与limf(x)存在,则函数f(x) 在(a,b)内有界 【详解】当x≠0,1,2时,∫(x)连续,而lmf(x)= sin 3 sin 2 18 2 f(x) ,linf(x)=∞,lif(x)=∞, 所以,函数f(x)在(-1,0)内有界,故选(A) 【评注】一般地,如函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间{a,b上有界; 如函数∫(x)在开区间(a,b)内连续,且极限lmf(x)与lmf(x)存在,则函数f(x) x→a x→b 在开区间(a,b)内有界 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10,《数学四临考演习》P51 第15题 (8)设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且lnf(x)=a 8()=(),x≠0 (A)x=0必是g(x)的第一类间断点 (B)x=0必是g(x)的第二类间断点 (C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关
3 (6) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X DX } = e 1 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为 − = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X DX } = 1− P{X DX } = − } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin 3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = → lim ( ) 1 f x x ， = → lim ( ) 2 f x x ， 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则 f (x)在闭区间[a , b]上有界； 如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在开区间(a , b)内有界. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4 例 1.10，《数学四临考演习》P51 第 15 题. (8) 设 f (x)在(− , +)内有定义，且 f x a x = → lim ( ) ， = = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ D ]
【分析】考查极限mg(x)是否存在,如存在,是否等于g0即可,通过换元=1 可将极限lmg(x)转化为imf(x) x→>0 x→0 【详解】因为lmg(x)=limf()=limf()=a(令l=-),又g(0)=0,所以, 当a=0时,img(x)=g(0),即g(x)在点x=0处连续,当a≠0时, img(x)≠g(0),即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性 与a的取值有关,故选(D) 【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性 完全类似的例题见《数学复习指南》P4例170,《数学题型集粹与练习题集》P2例1.35. (9)设f(x)=x(1-x),则 (A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点 (B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点 【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况, 考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况 【详解】设0<8<1,当x∈(-8,0)∪(0,δ)时,f(x)>0,而f(0)=0,所以x=0是f(x) 的极小值点 显然,x=0是∫(x)的不可导点.当x∈(-8,0)时,f(x)=-x(1-x),f"(x)=2>0, 当x∈(0,6)时,f(x)=x(1-x),f"(x)=-2<0,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 故选(C 【评注】对于极值情况,也可考查∫(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例69,《考研数学大串讲》P96例5 l.x>0 (10)设f(x)=10,x=0,F(x)=f(lh,则 1.x<0 (A)F(x)在x=0点不连续 (B)F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导 (C)F(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足F'(x)=f(x) (D)F(x)在(-∞,+∞)内可导,但不一定满足F(x)=f(x) [B] 【分析】先求分段函数f()的变限积分F(x)=-J/()M,再讨论函数F)的连续性与 可导性即可 【详解】当x<0时,F(x
4 【分析】考查极限 lim ( ) 0 g x x→ 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 x u 1 = ， 可将极限 lim ( ) 0 g x x→ 转化为 lim f (x) x→ . 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→ = = = a(令 x u 1 = )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41 例 1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20 例 1.35. (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 < < 1，当 x (− , 0) (0 , )时，f (x) > 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x (− , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f (x) = 2 0 ， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 − x)， f (x) = −2 0 ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141 例 6.9，《考研数学大串讲》P96 例 5. (10) 设 − = = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x f x ， = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 (A) F(x)在 x = 0 点不连续. (B) F(x)在(− , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. (C) F(x)在(− , +)内可导，且满足 F(x) = f (x). (D) F(x)在(− , +)内可导，但不一定满足 F(x) = f (x). [ B ] 【分析】先求分段函数 f (x)的变限积分 = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，再讨论函数 F(x)的连续性与 可导性即可. 【详解】当 x < 0 时， F x dt x x = − = − 0 ( ) ( 1) ；
当x>0时,F(x)=-0=x,当x=0时,F(=0即F()=, 显然,F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导.故选(B) 【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分.对于绝对值函数:|x-x|在x=x处 不可导:f(x)=x"|x-x0在x=x0处有n阶导数,则f("(x)=(n+1)川x-x 完全类似的例题见《数学复习指南》P95例415,《考研数学大串讲》P42例15 (11)设∫(x)在a,b]上连续,且f(a)>0,f(b)<0,则下列结论中错误的是 (A)至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x)>f(a) (B)至少存在一点x0∈(a,b),使得∫(x0)>f(b) (C)至少存在一点x∈(a,b),使得∫(x)=0 (D)至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)=0 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项 【详解】首先,由已知∫(x)在[a,b上连续,且f(a)>0,f(b)<0,则由介值定理, 至少存在一点x∈(a,b),使得f(x)=0 另外,fa)=加m(x)-/(a>0,由极限的保号性,至少存在一点x∈(ab) 使得(x0)-/(a>0,即f(x)>f(a).同理,至少存在一点x∈(ab 使得∫(x0)>∫(b).所以,(A)(B)(C)都正确,故选(D) 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度 完全类似的例题见《数学复习指南》P130例58,《数学题型集粹与练习题集》P70例5.. (12)设n阶矩阵A与B等价,则必须 (A)当|A=a(a≠0)时,|BF=a.(B)当AF=a(a≠0)时,|B-a (C)当|A|≠=0时,|B=0 (D)当A|=0时,|B}=0 【分析】利用矩阵A与B等价的充要条件:r(A)=r(B)立即可得 【详解】因为当|A}=0时,r(A)<n,又A与B等价,故r(B)<n,即B}=0,从而选 (D) 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型
5 当 x > 0 时， F x dt x x = = 0 ( ) 1 ，当 x = 0 时，F(0) = 0. 即 F(x) = |x|， 显然，F(x)在(− , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. 故选(B). 【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数： | | 0 x − x 在 0 x = x 处 不可导；f (x) = | | 0 x x x n − 在 0 x = x 处有 n 阶导数，则 ( ) ( 1)!| | 0 ( ) f x n x x n = + − . 完全类似的例题见《数学复习指南》P95 例 4.15，《考研数学大串讲》P42 例 15. (11) 设 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 . (D) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. [ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则由介值定理， 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 ； 另外， 0 ( ) ( ) ( ) lim − − = → + x a f x f a f a x a ，由极限的保号性，至少存在一点 ( , ) x0 a b 使得 0 ( ) ( ) 0 0 − − x a f x f a ，即 ( ) ( ) f x0 f a . 同理，至少存在一点 ( , ) x0 a b 使得 ( ) ( ) f x0 f b . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130 例 5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70 例 5.4. (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当 | A |= a(a 0) 时, | B |= a . (B) 当 | A |= a(a 0) 时, | B |= −a . (C) 当 | A | 0 时, | B |= 0 . (D) 当 | A |= 0 时, | B |= 0 . [ D ] 【分析】 利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件: r(A) = r(B) 立即可得. 【详解】因为当 | A |= 0 时, r(A) n , 又 A 与 B 等价, 故 r(B) n , 即 | B |= 0 , 从而选 (D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型