学校 以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过 2005年数学四试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限 lim x sin 【分析】本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可 2 【详解】 lim x sin =im x 【评注】若在某变化过程下,a(x)~a(x),则imf(x)a(x)=lmf(x)a(x) 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P23【例128】 (2)微分方程x'+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为xy=2 【分析】直接积分即可 【详解】原方程可化为(xy)=0,积分得xy=C, 代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2 【评注】本题虽属基本题型,也可先变形 再积分求解 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P229【例10.5】 (3)设二元函数二=xe++(x+1)h(1+y),则 edx +(e+2)d) 【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可 【详解】arex+y+xex+y+ln(1+y), az 于是 = edx+e+2)dy 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P166【例76】 (4)设行向量组(2,11,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且a≠1,则
文登学校 1 以下题型均在 05 年考研文登数学辅导班中讲过 2005 年数学四试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2. 1 2 lim 2 = → x + x x x 【评注】 若在某变化过程下， (x) ~ (x) ，则 lim f (x)(x) = lim f (x) (x). 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.23【例 1.28】 （2） 微分方程 xy + y = 0 满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 xy = 2 . 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 (xy) = 0 ，积分得 xy = C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. 【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 x dx y dy = − ， 再积分求解. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.229【例 10.5】 （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】 e xe ln(1 y) x z x y x y = + + + + + , y x xe y z x y + + = + + 1 1 , 于是 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.166【例 7.6】 （4）设行向量组 (2,1,1,1)， (2,1,a,a) ，(3,2,1, a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a= 2 1
文登学校 【分析】四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定a 【详解】由题设,有 aa (a-1)(2a-1)=0,得a=1,a=,但题设a≠1,故 a= 321 【评注】当向量的个数小于维数时,一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P312【例33】 (5)设a1,a2a3均为3维列向量,记矩阵 A=(a1a2a3),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3) 如果A=1,那么B=_2 【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 【详解】由题设,有 B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+302+9a3) (a1 于是有=14123=1×2=2 【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若 B=aud,+ana2+.+aina B2 Pn=ama,+am2a2+.+amna
文登学校 2 【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】 由题设，有 = 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 a a a (a −1)(2a −1) = 0 , 得 2 1 a = 1,a = ，但题设 a 1 ，故 . 2 1 a = . 【评注】 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.312【例 3.3】 （5）设 1 2 3 , , 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 = 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1 2 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A = = 【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 1 = a111 + a12 2 ++ a1n n ， 2 = a211 + a22 2 ++ a2n n ， m = am11 + am2 2 ++ amn n
文登学校 21 则有[B1B2…Bn]=[a1,a2…,an ain a 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P268【例1.5】 (6)从数1,2,34中任取一个数,记为X,再从1,2…,X中任取一个数,记为Y,则 【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 【详解】PF=2}=P{X=PY=2X=l+PX=2P{Y=2X=2} +P{X=3P{Y=2X=3}+PX=4P{Y=2X=4} 评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是 考查的重点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P407【例131】 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点 【分析】先求出可能极值点,再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析, 当恰好有一个极值为零时,函数f(x)恰好有两个不同的零点 【详解】f(x)=6x2-18x+12=6(x-1x-2),知可能极值点为x=1,x=2,且 f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点 故应选(B) 【评注】对于三次多项式函数fx)=ax3+bx2+cx+d,当两个极值同号时,函数f(x) 只有一个零点;当两个极值异号时,函数f(x)有三个零点:当两个极值有一为零时,,函数 f(x)有两个零点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P51【例626】 (8)设1=』 cOsT2+yl,l2=」ox2+y2),1=』jox2+y2)hd 其中D={(x,y)x2+y2≤},则
文登学校 3 则有 , , , . 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2 = n n mn m m m n a a a a a a a a a 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.268【例 1.5】 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2} = 48 13 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y = 2}= P{X =1}P{Y = 2 X =1} + P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1 + + + = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是 考查的重点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.407【例 1.31】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) ，知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ，可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点， 故应选(B). 【评注】 对于三次多项式函数 f(x)= ax + bx + cx + d 3 2 ,当两个极值同号时，函数 f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数 f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数 f(x) 有两个零点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.151【例 6.26】 （8）设 I x y d D = + 2 2 1 cos , I x y d D = cos( + ) 2 2 2 , I x y d D = + 2 2 2 3 cos( ) , 其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ，则
文登学校 (A)13>12>1 (C)12>1>l3 (D)13>1>12 【分析】关键在于比较√x2+y2、x2+y2与(x2+y2)2在区域 D=(x,y)x2+y2≤1上的大小 【详解】在区域D={x1y)x2+y2≤上,有0≤x2+y2≤1,从而有 x2+y2≥(x2+y2)2≥0 由于cosx在(0,)上为单调减函数,于是 0≤cos√x2+y2≤co(x2+y)scos( 因此 Cosvn2+ydo<osx2+y)o<』cosx2+y2)l,故应选A) 【评注】本题比较二重积分大小,本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P183【例8.2】 (9)下列结论中正确的是 「“一女与[一女一都收敛(B)「 都发散 x(x+ dh (C) 发散 收敛.(D) H(x+D收敛,a 发散 x(x+ x(x+1) 0x(x+1) 【分析】直接计算相应积分,判定其敛散性即可 详解】「”=hx =hn2,积分收敛 x(x+1)|x+ =0-(-∞)=+∞,积分发散 x(x+1)|x+1° 故应选(D 【评注】广义积分敛散性的判断,一般只要求掌握通过计算能判定的情形 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P23【例452】 (10)设f(x)=xsnx+cosx,下列命题中正确的是
文登学校 4 (A) 3 2 1 I I I . （B） 1 2 3 I I I . (C) 2 1 3 I I I . (D) 3 1 2 I I I . [ A ] 【 分 析 】 关 键 在 于 比 较 2 2 x + y 、 2 2 x + y 与 2 2 2 (x + y ) 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y 上的大小. 【详解】 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y 上，有 0 1 2 2 x + y ，从而有 2 2 1 2 x + y 2 2 x + y ( ) 0 2 2 2 x + y 由于 cosx 在 ) 2 (0, 上为单调减函数，于是 2 2 0 cos x + y cos( ) 2 2 x + y 2 2 2 cos(x + y ) 因此 + x y d D 2 2 cos + x y d D cos( ) 2 2 x y d D + 2 2 2 cos( ) ，故应选(A). 【评注】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.183【例 8.2】 （9）下列结论中正确的是 (A) + 1 x(x +1) dx 与 + 1 0 x(x 1) dx 都收敛. （B） + 1 x(x +1) dx 与 + 1 0 x(x 1) dx 都发散. (C) + 1 x(x +1) dx 发散， + 1 0 x(x 1) dx 收敛. (D) + 1 x(x +1) dx 收敛， + 1 0 x(x 1) dx 发散. [ D ] 【分析】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可. 【详解】 + 1 x(x +1) dx = ln 2 1 ln 1 = + + x x ，积分收敛， + 1 0 x(x 1) dx = = − − = + + 0 ( ) 1 ln 1 0 x x ，积分发散. 故应选(D). 【评注】 广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.123【例 4.52】 （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是
文登学校 (A)f(O)是极大值,∫()是极小值.(B)fO)是极小值,f()是极大值 (C)fo)是极大值,∫(-)也是极大值.(D)f(0)是极小值,∫(x)也是极小值 【分析】先求出∫(x),∫"(x),再用取极值的充分条件判断即可 【详解】f(x)=snx+ x cosx-six= x cosx,显然∫(0)=0,f(2)=0, 又f"(x)=cosx-xsnx,且f"(0)=1>0,f"( <0,故f(0)是极小值, )是极大值,应选(B) 【评注】本题为基本题型,主要考查取极值的充分条件 对应定理公式见《数学复习指南》(经济类)P41 (11)以下四个命题中,正确的是 (A)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界 (B)若∫(x)在(0,1)内连续,则fx)在(0,1)内有界 (C)若∫(x)在(0,1)内有界,则fx)在(0,1)内有界 (D)若f(x)在(0,1)内有界,则∫(x)在(0,1)内有界 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可 详解】设f(x)=,则fx)及f(x)=-2均在(0,1)内连续,但f(x)在(0,1) 内无界,排除A)、(B),又f(x)=√x在(0,1)内有界,但f(x)=在(0,1)内 2 无界,排除(D).故应选(C) 【评注】本题也可直接证明:用拉格朗日中值定理,有 f(x)-f()=∫((x-)5在(0,1)之间,由此容易推知若f(x)在(0, 1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界 (12)设AB,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+ABC=ACA,则BC为 【分析】利用矩阵运算进行分析即可 【详解】由B=E+ABC=A+CA,知 (E-AB=E, C(E-AFA 可见,E-A与B互为逆矩阵,于是有B(E-A)=E 从而有(BCE-A=E-A,而E-A可逆,故BC=E.应选(A)
文登学校 5 (A) f(0)是极大值， ) 2 ( f 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 ( f 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 ( f 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 ( f 也是极小值. [ B ] 【分析】 先求出 f (x), f (x) ，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解】 f (x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x ，显然 ) 0 2 (0) = 0, ( = f f ， 又 f (x) = cos x − x sin x ，且 0 2 ) 2 (0) = 1 0, ( = − f f ，故 f(0)是极小值， ) 2 ( f 是极大值，应选(B). 【评注】 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件. 对应定理公式见《数学复习指南》（经济类）P.141 （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f (x) 在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 ( ) x f x = − 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1） 内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 x f x 2 1 ( ) = 在（0，1）内 无界，排除(D). 故应选(C). 【评注】 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有 ), 2 1 ) ( )( 2 1 f (x) − f ( = f x − 在(0,1)之间，由此容易推知若 f (x) 在（0， 1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. （12）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB,C=A+CA，则 B-C 为 (A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A [ A ] 【分析】 利用矩阵运算进行分析即可. 【详解】 由 B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A, 可见，E-A 与 B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E. 从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而 E-A 可逆，故 B-C=E. 应选(A)