常系数线性齐次方程例求解方程y"-3y"+3y-y=0。r= 艺重根>-w+3r-1=0rx特e.exer通-(c,+C,x+ C,×L)e例求解方程y(4)+4y"=0。=0是一量报4+4=06XDY2X,×xe"-XC,+ CzX + C3 w2X + Ca sn2XM12
12 常系数线性齐次方程 例 求解方程 𝒚 ′′′ − 𝟑𝒚 ′′ + 𝟑𝒚 ′ − 𝒚 = 𝟎。 例 求解方程 𝒚 𝟒 + 𝟒𝒚 ′′ = 𝟎
常系数线性非齐次方程ST"+/=tany对常系数二阶线性非齐次方程，即y"+py+qy=f(x)，p,qER。对一般的非齐次项f(x)，可先求齐次方程的通解，再通过常数变易法得到非齐次方程的一个特解，最后利用解的叠加原理得到非齐次方程的通解。此处针对两类特殊的f（x），给出具体的求解方法。13
13 常系数线性非齐次方程 对常系数二阶线性非齐次方程，即 𝒚 ′′ + 𝒑𝒚 ′ + 𝒒𝒚 = 𝒇 𝒙 ，𝒑, 𝒒 ∈ 𝐑。 对一般的非齐次项 𝒇 𝒙 ，可先求齐次方程的通解， 再通过常数变易法得到非齐次方程的一个特解， 最后利用解的叠加原理得到非齐次方程的通解。 此处针对两类特殊的 𝒇 𝒙 ，给出具体的求解方法
常系数线性非齐次方程mnl=0则多顶爱硕式·景1.方程y" +(py'+qy=f(x),其中, f(x) = (boxm + b1ixm-1 +.. + bm)@, bo ± 0。找一个形如y*(x) =(P(x)eax 的特解，其中 P(x) 为多项式。y"+p+由于 y** = (P'(x) + P(x))ex,艺Deax(p"(x) + 2P'(x) +a2P(x))而 y*"l =代入方程，则有 P"(x) +(2a+pp'(x)(a2+pa +qP(x)= boxm + b1xm-1 + ...+ bm,左端也应为m次多项式，利用待定系数法可求P(x)
14 常系数线性非齐次方程 1. 方程 𝒚 ′′ + 𝒑𝒚 ′ + 𝒒𝒚 = 𝒇 𝒙 ， 找一个形如 𝒚 ∗ 𝒙 = 𝑷 𝒙 𝐞 𝝀𝒙 的特解，其中 𝑷 𝒙 为多项式。 由于 𝒚 ∗′ = 𝑷 ′ 𝒙 + 𝝀𝑷 𝒙 𝐞 𝝀𝒙 ， 而 𝒚 ∗′′ = 𝑷 ′′ 𝒙 + 𝟐𝝀𝑷 ′ 𝒙 + 𝝀 𝟐𝑷 𝒙 𝐞 𝝀𝒙 ， 代入方程，则有 𝑷 ′′ 𝒙 + 𝟐𝝀 + 𝒑 𝑷 ′ 𝒙 + (𝝀 𝟐+𝒑𝝀 + 𝒒)𝑷 𝒙 其中，𝒇(𝒙) = (𝒃𝟎𝒙 𝒎 + 𝒃𝟏𝒙 𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝒎)𝐞 𝝀𝒙 ，𝒃𝟎 ≠ 𝟎。 = 𝒃𝟎𝒙 𝒎 + 𝒃𝟏𝒙 𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝒎， 左端也应为 𝒎 次多项式，利用待定系数法可求 𝑷 𝒙
常系数线性非齐次方程m(1）若2++≠0，即不是原方程的特征根，则P(x)应为m次多项式，故可设 P(x) =Box+ B1xm-1 +…+ Bm;(2）若2+p9=0，且)α是原方程特征方程的一个单根此时，-p为两根之和，则2α +p±0，P'(x)为m次多项式故可设 P(x) = x(Boxm + B1xm-1 ++ Bm); l (Bue(3)若2+p+=0，且是特征方程的二重根,则 2a + p = 0, p"(x) = boxm + b1xm-1 + .. + bm,两次不定积分，即可得到P(x)。15
15 常系数线性非齐次方程 （1） 若 𝝀 𝟐 + 𝒑𝝀 + 𝒒 ≠ 𝟎，即 𝝀 不是原方程的特征根， 故可设 𝑷 𝒙 = 𝑩𝟎𝒙 𝒎 + 𝑩𝟏𝒙 𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝑩𝒎； （2） 若 𝝀 𝟐 + 𝒑𝝀 + 𝒒 = 𝟎，且 𝝀 是原方程特征方程的一个单根， 此时，−𝒑 为两根之和，则 𝟐𝝀 + 𝒑 ≠ 𝟎，𝑷 ′ 𝒙 为 𝒎 次多项式， 故可设 𝑷 𝒙 = 𝒙(𝑩𝟎𝒙 𝒎 + 𝑩𝟏𝒙 𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝑩𝒎)； 则 𝑷 𝒙 应为 𝒎 次多项式， （3） 若 𝝀 𝟐 + 𝒑𝝀 + 𝒒 = 𝟎，且 𝝀 是特征方程的二重根， 则 𝟐𝝀 + 𝒑 = 𝟎，𝑷 ′′ 𝒙 = 𝒃𝟎𝒙 𝒎 + 𝒃𝟏𝒙 𝒎−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝒎， 两次不定积分，即可得到 𝑷 𝒙