常系数线性齐次方程Yr(r-)+prx+ xormunl现考察常系数二阶线性齐次方程，即y"+py+qy=O，p,qER。首先希望凑出一个特解。尝试y=erx形式的函数。O若y=erx是方程的一个特解，则(er(r2+pr+q)=0,即r只需满足r2+pr+q=0，y=erx就是方程的一个特解。称r2+pr +q= 0 为原方程的特征方程，由代数学基本定理，该方程在复数域上有两个根r1,r2，称为特征根
7 常系数线性齐次方程 现考察常系数二阶线性齐次方程，即 𝒚 ′′ + 𝒑𝒚 ′ + 𝒒𝒚 = 𝟎，𝒑, 𝒒 ∈ 𝐑。 首先希望凑出一个特解。尝试 𝒚 = 𝐞 𝒓𝒙 形式的函数。 若 𝒚 = 𝐞 𝒓𝒙 是方程的一个特解，则 𝐞 𝒓𝒙 𝒓 𝟐 + 𝒑𝒓 + 𝒒 = 𝟎， 即 𝒓 只需满足 𝒓 𝟐 + 𝒑𝒓 + 𝒒 = 𝟎， 𝒚 = 𝐞 𝒓𝒙 就是方程的一个特解。 称 𝒓 𝟐 + 𝒑𝒓 + 𝒒 = 𝟎 为原方程的特征方程， 由代数学基本定理，该方程在复数域上有两个根 𝒓𝟏, 𝒓𝟐，称为特征根
常系数线性齐次方程Sm现关于特征根类型分类讨论。(1）当p2－4q>0时，特征方程有两个互异实根r1,r2，此时，erix与er2x均为原方程的特解且线性无关，所以，原方程有通解)y=Cierix+C2er2x。(2）当 p2 - 4q= 0 时，特征方程有二重实根(r =P则1=er* 为原方程的一个特解，e由刘维尔公式，Y2=erx『e-2rxe-『pdxdx=erx了e-{2r+pxdx = xerx，为原方程的另一个特解,所以，原方程有通解)y=(C1 +C2x)erx
8 常系数线性齐次方程 现关于特征根类型分类讨论。 （1） 当 𝒑 𝟐 − 𝟒𝒒 > 𝟎 时，特征方程有两个互异实根 𝒓𝟏, 𝒓𝟐， 此时，𝐞 𝒓𝟏𝒙 与 𝐞 𝒓𝟐𝒙 均为原方程的特解且线性无关， 所以，原方程有通解 𝒚 = 𝑪𝟏𝐞 𝒓𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝐞 𝒓𝟐𝒙 。 （2） 当 𝒑 𝟐 − 𝟒𝒒 = 𝟎 时，特征方程有二重实根 𝒓 = − 𝒑 𝟐 ， 则 𝒚𝟏 = 𝐞 𝒓𝒙 为原方程的一个特解， 由刘维尔公式，𝒚𝟐 = 𝐞 �� �𝒓� −𝟐𝒓𝒙𝐞 �𝐝𝒙𝐝𝒑� − = 𝐞 �� �𝒓� − 𝟐𝒓+𝒑 𝒙𝐝𝒙 = 𝒙𝐞 𝒓𝒙，为原方程的另一个特解， 所以，原方程有通解 𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙 𝐞 𝒓𝒙
常系数线性齐次方程amurT(3）当p2-4q<0时，特征方程有一对共轭复根r1,r2,记 r1, r2 = =pi/4q-p?=α±βi (α,βER),(e")"+P(er)+9e'=D2则原方程有一对复的基本解组 e(α+βi)x 与 e(α-βi)x其在复数域中通解为 C1e(α+βi)x+ C2e(α-Bi)x，C1,C2 为任意复数。e(α+βi)x = eax(cosβx + isinβx), e(α-βi)x = eax(cosβx = isinβx) ,取C1=C2=2，则则得到一实特解y1=eαxcosβx,I取C1=2， C2=-2,则得到另一实特解y2=eαxsinβx,所以，原方程在实数域中通解为y=eαx(Cicosβx+C2sinβx)，其中C1,C2为任意实数
9 常系数线性齐次方程 （3） 当 𝒑 𝟐 − 𝟒𝒒 < 𝟎 时，特征方程有一对共轭复根 𝒓𝟏, 𝒓𝟐， 记 𝒓𝟏, 𝒓𝟐 = −𝒑±𝒊 𝟒𝒒−𝒑𝟐 𝟐 = 𝜶 ± 𝜷𝒊（𝜶,𝜷 ∈ 𝐑）， 则原方程有一对复的基本解组 𝐞 𝜶+𝜷𝒊 𝒙 与 𝐞 𝜶−𝜷𝒊 𝒙 ， 其在复数域中通解为 𝑪𝟏𝐞 𝜶+𝜷𝒊 𝒙 + 𝑪𝟐𝐞 𝜶−𝜷𝒊 𝒙 ，𝑪𝟏, 𝑪𝟐 为任意复数。 取 𝑪𝟏 = 𝑪𝟐 = 𝟏 𝟐 ，则得到一实特解 𝒚𝟏 = 𝐞 𝜶𝒙𝐜𝐨𝐬𝜷𝒙， 𝐞 𝜶+𝜷𝒊 𝒙 = 𝐞 𝜶𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜷𝒙 + 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜷𝒙 ，𝐞 𝜶−𝜷𝒊 𝒙 = 𝐞 𝜶𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜷𝒙 − 𝒊𝐬𝐢𝐧𝜷𝒙 ， 取 𝑪𝟏 = 𝟏 𝟐𝒊 ，𝑪𝟐 = − 𝟏 𝟐𝒊 ，则得到另一实特解 𝒚𝟐 = 𝐞 𝜶𝒙𝐬𝐢𝐧𝜷𝒙， 所以，原方程在实数域中通解为 𝒚 = 𝐞 𝜶𝒙 𝑪𝟏𝐜𝐨𝐬𝜷𝒙 + 𝑪𝟐𝐬𝐢𝐧𝜷𝒙 ，其中 𝑪𝟏, 𝑪𝟐 为任意实数
常系数线性齐次方程sm通解形式特征根情况C,e'r"+C,e'2相异实根，2C,e"+C,xe"相同实根M区C,eacosBx+C,earsinβx共轭复根α+iβ，α-ip例求解方程y"+2y'+2y=0。=-±("i-."-: 有通解e*(C Y+C,shx10
10 常系数线性齐次方程 例 求解方程 𝒚 ′′ + 𝟐𝒚 ′ + 𝟐𝒚 = 𝟎
常系数线性齐次方程mun对 n 阶线性齐次常系数方程 y(n) +p1y(n-1) +… +pn-1y' +pny= 0 ,可运用同样的方式求基本解组，及其通解。r+Pn---.-+ Por+p=0特征根情况基本解组中对应的函数单实根k个特饼重实根T多利个kT单重共轭复根α+iB，α-iBecosBeasinBxeacosBx,esinBx,..k重共轭复根α+iβ，α-iB-eacosBx,xk-leasinB1个根八个特能
11 常系数线性齐次方程 对 𝒏 阶线性齐次常系数方程 𝒚 𝒏 + 𝒑𝟏𝒚 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒑𝒏−𝟏𝒚 ′ + 𝒑𝒏𝒚 = 𝟎 ， 可运用同样的方式求基本解组，及其通解