概率伦与敖理线针」 在例中如果给定=0.05， =0.95, 即P双- a9≤u≤X+号n6}=0.95, 故-品n又+品]也是即的图台木中 0 为0.95的置信区间. 其置信区间的长度为人，=（似%+) n
在例1中如果给定 = 0.05, 则又有 𝑃 −𝑢0.96 ≤ 𝑋ሜ − 𝜇 𝜎/ 𝑛 ≤ 𝑢0.99 = 0.95, 即 𝑃{𝑋ሜ − 𝜎 𝑛 𝑢0.99 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋ሜ + 𝜎 𝑛 𝑢0.96} = 0.95, 故 ሜ[𝑋 − 𝜎 𝑛 𝑢0.99, 𝑋ሜ + 𝜎 𝑛 𝑢0.96]也是𝜇 的置信水平 为0.95的置信区间. 其置信区间的长度为 ). 2 0.96 0.99 (u u n L = +
概率论与故理能外 比较两个置信区间的长度 L=2× 4975=3.92×0 n n h与=Cu%+4）=408× Vn √n 显然L,<L2·置信区间短表示估计的精度高. 说明：对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标 轴对称的情况，易证取α和b关于原点对称时，能使 置信区间长度最小，此时得到的置信区间为等尾 置信区间
比较两个置信区间的长度 ) 4.08 , n u u n L 2 = ( 0.96 + 0.99 = 3.92 , n u n L 1 = 2 0.975 = . 显然 L1 L2 置信区间短表示估计的精度高. 说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标 轴对称的情况, 易证取a和b关于原点对称时,能使 置信区间长度最小,此时得到的置信区间为等尾 置信区间
概率论与敲理统材 2.求置信区间的一般步骤（共3步） ()寻求一个样本X,X2,X,的函数： Z=Z(X1,X2,.,Xm0) 其中仅包含待估参数0，并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参数（包括0） (2)对于给定的置信度1-心，定出两个常数a,b, 使P{a≤Z(X1,X2,.,Xn:0)≤b}=1-a
2. 求置信区间的一般步骤(共3步) ( ). , ( , , , ; ) (1) , , , : 1 2 1 2 且不依赖于任何未知参数 包 括 其中仅包含待估参数 并 且 的分布已知 寻求一个样本 的函数 Z Z Z X X X X X X n n = (2) 对于给定的置信度 1 − 𝛼, 定 出两个常数𝑎, 𝑏, 使 𝑃{𝑎 ≤ 𝑍(𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛; 𝜃) ≤ 𝑏} = 1 − 𝛼
概率论与赦理绕针 (3)若能从a≤Z(X1,X2,.,Xn:)≤b得到等价的 不等式0L≤0≤0u,其中0L=0L(X1,X2,.,Xm), 0u=0u(X1,X2,.,Xn)都是统计量，那么[0,0u]就 是0的一个置信度为1-的置信区间
(3) 若能从 𝑎 ≤ 𝑍(𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛; 𝜃) ≤ 𝑏 得到等价的 不等式 𝜃 ∧ 𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃 ∧ 𝑈, 其中 𝜃 ∧ 𝐿 = 𝜃 ∧ 𝐿 (𝑋1 ,𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛), 𝜃 ∧ 𝑈 = 𝜃 ∧ 𝑈 𝑋1 ,𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛 都是统计量, 那么 [𝜃 ∧ 𝐿 , 𝜃 ∧ 𝑈] 就 是 𝜃 的一个置信度为 1 − 𝛼 的置信区间
第六章参数估计 第15页 例6.5.1设x.x2,x1是来自N(4o2的样本，则 u的置信水平为1-α的置信区间为 [-i49Wi,x+9小i而 其中x,S分别为样本均值和样本标准差。 若取a=0.10,则095(91.8331，上式化为 [-0.5797s,x+0.5797s] 6 April 2025 华东师范大学
第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第15页 例6.5.1 设x1 , x2 ,., x10是来自N(, 2 )的样本，则 的置信水平为1- 的置信区间为 1 2 1 2 x t s x t s (9) 10 , (9) 10 − − − + x s x s − + 0.5797 , 0.5797 其中 x ,S 分别为样本均值和样本标准差。 若取 =0.10，则t0.95(9)=1.8331，上式化为