圣举例讨论上述点集的性质U'(xo;e)例3 证明：对任何siR2,roS恒为闭集，yS证如图16－4 所示，设 xoU(y;d)为S的任一聚点，欲证TS图 16 - 4xoiS（即xo亦为S的界点）.为此"e>0,由聚点定义，存在yi u'(xo; e)I Is.再由 为界点的定义,"U(y;d)iU(xo;e),在后贡滋回前页
前页 后页 返回 ※ 举例讨论上述点集的性质 例3 证明:对任何 恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, 设 的任一聚点，欲证 （即 亦为 的界 点）. 为此 由聚点定义，存在 图 16 –４ 再由 为界点的定义, 在
U(y;d)内既有 S的点,又有非S的点. 此推知在U(xo;e)内既有 S 的点,又有非 S 的点. 所以,由e的任意性, xo 为 S 的界点,x,i S,也就证得 S即为闭集。注类似地可以证明:对任何点集Si R,导集 Sd亦恒为闭集，（留作习题）例4 设 EiR2.试证 E为闭集的充要条件是：E=EUE 或 E°=int(E).后贡邀回前页
前页 后页 返回 内既有 的点, 又有非 的点. 由此推知在 的任意性, 为 的界点, 即 , 也就证得 为闭集． 注类似地可以证明:对任何点集 亦恒为闭集.( 留作习题 ) 例4 设 试证 E为闭集的充要条件是： 内既有 的点, 又有非 的点. 所以, 由