北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第4节 复合函数与隐函数求导法

又如，z=f(x,v),V=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 of av 8x =+乃州 02 of Ov oy =fΨ2 口诀： 注意：这里 与 f不同， 分段用乘，分叉用加 Ox O 单路全导，叉路偏导 表示f(x,w(x,y))固定y对x求导 8x a∫ 表示f(x,v)固定v对x求导 8x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 又如, z  f (x,v), v  (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21  f   f   y z   2 2  f   z  f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示 f ( x,  ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x f   表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 口诀 : x f    x v v f       y v v f       与 不同, v 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导

例7.4.1设z=e"sinv,u=xy,v=x+y,求 Ox"Oy 解： Oz Oz Ou 8z Ov ∂x Bu 8x'Bv 8x e"sinv.y +e"cosv.1 =ex[y.sin(x+y)+cos(+)] azoz∂u,dzd Oy Ou ay'Ov Oy xyx y =e"sinv·x+e“cosv.l =e*[xsin(x+y)+cos(+y)] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.4.1 设 z e sin v , u xy , v x y , u     , . y z x z     求 解: x z   v u  e sin e [ y sin(x y) cos(x y)] xy      y z   e [x sin(x y) cos(x y)] xy      v u  e sin x u u z       x v v z       v u  e cos y u u z       y v v z       v u  e cos  y 1  x 1 z u v x y x y

例7.4.3设z=uv+sint,u=e,v=cost,求全导数 d dt 解： dz 0z du t,Oz dv,Oz Ou dt'Ov dt Ot ve'-usint cost e'(cost-sint)+cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.4.3 设 z  uv  sin t , . d d t z z u v t t t t z d d t  v e t t t t  e (cos  sin )  cos t u u z d d     t v v z d d     t z    u  e t , v  cost , 求全导数 解:  u sin t  cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例7.44u=x,.）=e2+2+::=xsny,求 Ou 解： ou of,of Oz 8x 8x'8z Ox =2xe+22xsiny =2x(1+2x2 sin2 y)e+xsin2y ou of of.Oz 8yay'oz by =2(y+xsinycosy)esin2y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.4.4 ( , , ) e , sin , 2 2 2 2 u f x y z z x y x y z      y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 e x y z x    x y x y x x y 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) e     x y z x y u y u   2 2 2 2 e x y z y    x y x y y x y y 2 2 4 2 4 sin 2 ( sin cos ) e     x f    x z z f       2 2 2 2 e x y z z    y f    y z z f       2 2 2 2 e x y z z     2 x sin y x cos y 2 

二、全微分形式不变性 设函数z=f(u,),u=0(x,y),V=y(x,y)都可微， 则复合函数z=f(0(x,y),y(x,y)的全微分为 dz Ox 0z Bu 0z oz ov)dy Qu 8x dx+ ou dy) y dx+ 0x du Bv 可见无论，v是自变量还是中间变量，其全微分表达 形式都一样，这性质叫做全微分形式不变性， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、全微分形式不变性 设函数 z  f (u,v), u   (x, y), v  (x, y) 的全微分为 y y z x x z dz d d       x x v v z x u u z ( ) d             y y v v z y u u z ( )d             u z    v z    u z    可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, ( d dy ) y u x x u      ( d dy ) y v x x v      则复合函数 z  f ( (x, y), (x, y)) du v z    dv 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性