概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例3:某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概 率为0.87有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大? 解:令A={集成电路能正常工作到2000小时},B={集成电路能正常工作到3000小时} 已知:P(A)=0.94,P(B)=0.87且BcA,既有AB=B于是P(AB)=P(B=0.87 按题意所要求的概率为:F(/)-AB2=087 P(A)094096 §2关于条件概率的三个重要公式 1.乘法公式 定理1:如果()>0.则有P(AB)-P(2P(AB),如果P(A)>0则有PAB)=PAPA 例4已知某产品的不合格品率为4%而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为 级的概率 解:令A={任取一件产品为一级品},B={任取一件产品为合格品},显然ACB,即有AB=A 故P(AB)=P(A.于是,所要求的概率便为P(4)=P(A8)=F(B)( =96%×75%=72% 例5为了防止意外在矿内安装两个报警系统a和b每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92, 系统b的有效概率为0.93而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为085,试求:(1)当发生意外时,两 个报警系统至少有一个有效的概率;(2)在系统b失灵情况下,系统a有效的概率 解:令A={系统a有效}B={系统b有效 三知F4-092,)-0938)-085 A AB=B-BA 对问题(1),所要求的概率为 P(AUB)=P(4)+P(B)-P(AB)=185-P(4B),其中P(AB)=P(B-B)(见图) P(2)P8)=P()-F(分-093-00035-0362 于是P(AUB)=185-0862=0988 对问题(2),所要求的概率为 P(AB)。FA-AB)P)-P(AB)2092-086 =0.829 P()1-P(B)1-093 0.07 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 11 页 @kaiziliu 例 3：某种集成电路使用到 2000 小时还能正常工作的概率为 0.94,使用到 3000 小时还能正常工作的概 率为 0.87 .有一块集成电路已工作了 2000 小时,向它还能再工作 1000 小时的概率为多大? 解：令 A={集成电路能正常工作到 2000 小时}，B={集成电路能正常工作到 3000 小时} 已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有 AB=B 于是 P(AB)=P(B)=0.87 按题意所要求的概率为： §2 关于条件概率的三个重要公式 1.乘法公式 定理 1: ， 例 4:已知某产品的不合格品率为 4%,而合格品中有 75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为 一级的概率. 解: 令 A= {任取一件产品为一级品}, B= {任取一件产品为合格品}，显然 ，即有 AB=A 故 P（AB）=P（A）。于是, 所要求的概率便为 例 5:为了防止意外,在矿内安装两个报警系统 a 和 b,每个报警系统单独使用时,系统 a 有效的概率为 0.92, 系统 b 的有效概率为 0.93,而在系统 a 失灵情况下,系统 b 有效的概率为 0.85，试求：(1)当发生意外时,两 个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统 b 失灵情况下,系统 a 有效的概率. 解: 令 A={系统 a 有效} B={系统 b 有效} 已知 , , 对问题(1) ,所要求的概率为 ，其中 (见图) = = 于是 对问题(2),所要求的概率为： =
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 推广:如果 A4)则有EA4)-P4)()(4)-么-) 证由于A1A1A2=…AA2…A21,故P(A1)2P(1A2)2…2P(42…A121》0 所以上面等式右边的诸条件概率均存在且由乘法公式可得 P(44…4)=P(44…414 A1A2"A-1 =P(A4…42)(14y /A42…42J(/A4A1 依此类推)=(A)(2A12么 A AA A4A2…A2 例6:10个考签中有4个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次丙最后,试问(1)甲、乙、丙均抽得难 签的概率为多少?(2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少? 解:令AB,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件 对向题D所求的概率为:(B0)40p-5232-03 对问题(2),甲抽得难签的概率为:P(4)==0 P(2)U8)2A)+1)P(428A)+(2p分) 乙抽得难签的概率为4、3+6×2=04 109109 P(c)=P(ABCUABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+PABc 丙抽得难签的概率为 其中P(ABC)-2 (A)-P(2c 46 3 B109810 P(A BC)-PlA 于是P(C)=+,++ 04 301010610 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 12 页 @kaiziliu 推广：如果 证:由于 所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得 = = …… （依此类推）= 例 6：10 个考签中有 4 个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次,丙最后,试问(1) 甲、乙、丙均抽得难 签的概率为多少? (2) 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少? 解: 令 A,B,C 分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件， 对问题(1),所求的概率为： 对问题(2), 甲抽得难签的概率为： 乙抽得难签的概率为 丙抽得难签的概率为 其中 于是
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 2.全概率公式 完备事件组如果一组事件H1,H2,H2在每次试验中必发生且仅发生一个 即UH1=且HH2“叫则称此事件组为该试验的一个完备事件组 例如,在掷一颗骰子的试验中,以下事件组均为完备事件组:①{1},{2},{3},{4},{5},{6}:② 1,2,3},{4,5},{6};③A,A(A为试验中任意一事件) 定理2:设H1,H2…H为一完备事件组,且P(H1)>0=1,2,…,n),则对于任意事件A有 P(4)=∑P(u)(H1 证:由于∪H,=92且对于任意1,B1∩H1= 于是A=A2=A(1)=UA1)且对于任意,AH1∩AH1=于是由概率的可加性及 乘法公式便得:P(4)-{UAPp2() 例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下: 根据以往资料可知,中国胜美国的概率为04,中国胜日本的概率 中国 中曰 为0.9,而日本胜美国的概率为0.5,求中国得冠军的概率 冠军 日本 解:令H={日本胜美国},H={美国胜日本},A={中国得冠军} 美国 由全概率公式便得所求的概率为 =0.5×09+0.5×04=0.65 例8,盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时,从盒中任取3个使用,用后放会盒中, 第二次比赛时,再取3个使用,求第二次取出都是新球的概率 解:令H:={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0,1,2,3,A={第二次比赛取出的3个 球均为新球} akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 13 页 @kaiziliu 2.全概率公式 完备事件组:如果一组事件 在每次试验中必发生且仅发生一个, 即 则称此事件组为该试验的一个完备事件组 例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； ② {1，2，3}，{4，5 }， {6}； ③ Ａ ， （A 为试验中任意一事件） 定理 2： 设 为一完备事件组，且 ，则对于任意事件 A 有 证：由于 且对于任意 ，于是由概率的可加性及 乘法公式便得： 例 7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下： 根据以往资料可知，中国胜美国的概率为 0.4 ，中国胜日本的概率 为 0.9，而日本胜美国的概率为 0.5，求中国得冠军的概率。 解：令 H= {日本胜美国}, ={美国胜日本}, A= {中国得冠军} 由全概率公式便得所求的概率为 例 8， 盒中放有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛时，从盒中任取 3 个使用，用后放会盒中， 第二次比赛时，再取 3 个使用，求第二次取出都是新球的概率 解： 令 H ={第一次比赛时取出的 3 个球中有 i 个新球}i=0，1，2，3，A = {第二次比赛取出的 3 个 球均为新球}
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 于是P(H0) P(H1)= P(H2) P(H3)= 而P(A P(%2 A 由全概率公式便可得所求的概率 A) H H212(12 12)1 1271=0.46 3贝叶斯公式 定理3:设 Hy为一完备寡件组,且P(H1)>0(a=12…n) P(H 又设A为任意事件,且P(A)>0,则有 ∑F (H4)P( 证:由乘法公式和全概率公式即可(H0立风B(% 例9:某种诊断癌症的实验有如下效果:患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95,不患有癌症者 做此实验反映为阴的概率也为0.95,并假定就诊者中有0005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为 阳性,问他是一个癌症患者的概率是多少? 先验概率 解:令H={做实验的人为癌症患者},H={做实验的人不为癌症患者},A={实验结果反应为阳性},{实 验结果反应为阴性},由贝叶斯公式可求得所要求的概率: P()P( 0.005×0.95 =0.087 H 0.005×0.95+0.995×0.05
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 14 页 @kaiziliu 于是 , , , 而 , , , 由全概率公式便可得所求的概率 =0.146 3 贝叶斯公式 定 理 3 ： 设 H ,H ,…….H 为 一 完 备 事 件 组 ， 且 又设 A 为任意事件，且 P(A) >0，则有 证：由乘法公式和全概率公式即可得到 例 9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为 0.95，不患有癌症者 做此实验反映为阴的概率也为 0.95，并假定就诊者中有 0.005 的人患有癌症。已知某人做此实验反应为 阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？ 解： 令 H={做实验的人为癌症患者}， ={做实验的人不为癌症患者}，A={实验结果反应为阳性}，{实 验结果反应为阴性}，由贝叶斯公式可求得所要求的概率： 先验概率
概率论基础知识 (北京邮电) 例10:两信息分别编码为X和Y传送出去,接收站接收时,X被误收作为Y的概率 Y被误作为 X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为21,若接收站收到的信息为X,问原发信息也是X 概率为多少? 解:设H={原发信息为X}而=(原发信息为y 又设A=(收到信息为x)A=收到信息为y 由题意可知(H) P P(42)-1-P(4)-1-902-098 P(HA P(AJH)P(H P(4F)P(1)+P(4P万) 由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为 0.98× 0.98×二+0.01×197 例11:设有一箱产品是由三家工厂生产的,已知其中 的产品是由甲厂生产的,乙、丙两厂的产品各 占,已知甲,乙两厂的次品率为2%,丙厂的次品率为4%,现从箱中任取一产品(1)求所取得 产品是甲厂生产的次品的概率;(2)求所取得产品是次品的概率;(3)已知所取得产品是次品, 问他是由甲厂生产的概率是多少? 解:令H1,H2,H3分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件,A={所取得的产品为次品} 然PB)+1,)),1)-1)2%,)4% 对问题(1)由乘法公式可得所要求的概:P(4P(B1)(1×%1% 对问题(2),由全概率公式可得所要求的概率 P(A)=∑?(1) 1() ×2%+1×2%+11×49%=25 对问间题(3,由贝叶斯公式可得所要求的概B1、H P(4) 第15页
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 15 页 @kaiziliu 例 10：两信息分别编码为 X 和 Y 传送出去，接收站接收时，X 被误收作为 Y 的概率 0.02,而 Y 被误作为 X 的概率为 0.01.信息 X 与 Y 传送的频繁程度之比为 2:1,若接收站收到的信息为 X，问原发信息也是 X 的概率为多少? 解：设 H={原发信息为 X} 由题意可知 由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为 例 11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中 的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各 占 ，已知甲，乙两厂的次品率为 2%，丙厂的次品率为 4%，现从箱中任取一产品（1） 求所取得 产品是甲厂生产的次品的概率；（2） 求所取得产品是次品的概率；（3） 已知所取得产品是次品， 问他是由甲厂生产的概率是多少？ 解：令 分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A={所取得的产品为次品} 显然 ， ， ， 对问题（1），由乘法公式可得所要求的概率： 对问题（2），由全概率公式可得所要求的概率 对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率