第四章留数定理及其应用 已讲:一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值 有很强的内在联系,这突出表现在柯西积分公 式及其推论。 本章:讨论这种关系的另一种表现形式:解析函数的 积分值与函数的奇点的关系
第四章 留数定理及其应用 已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值 有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公 式及其推论。 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的 积分值与函数的奇点的关系
§4.1留数定理 、留数定理 若函数八(2)在D内除有限个孤立奇点b外解析,则 F, /(e d==2xi2 Re sf(bk) L:D内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。 Rey(在b的无心邻域0<|=-b<R中的罗朗级数 的系数a,称为)在=b的留数。 a:f()在它的第k个孤立奇点b的邻域内罗朗展开式 中(=-b)的系数
§4.1 留数定理 一、留数定理 若函数 f( z ) 在 内除有限个孤立奇点 外解析，则 L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。 ：f( z ) 在 的无心邻域 0 k <− < zb R 中的罗朗级数 的系数 ( ) 1 k a − ，称为 f( z ) 在 k z b = 的留数。 ：f( z )在它的第 k 个孤立奇点 的邻域内罗朗展开式 中( ) 1 k z b − − 的系数。 D D k b ∫ ∑= = m k k L f z dz i sf b 1 ( ) 2 π Re ( ) D Re ( ) k s f b ( ) 1 k a − k b
证明:在D内,以各个奇点b为圆心,作小圆周4.24分 别包含各奇点→外边界线L与所有小圆周为边界构 成闭复通区域。 由柯西定理: 「,()=∑, 分别在各个b的无心邻域0<-b<R中将化2)展开成罗朗 级数: k=1,2.m 代入积分公式: 「,(=∑叫(=-b=∑27iln 4).2Ti=2i Resf(br)
证明：在 内，以各个奇点 为圆心，作小圆周 1 2 , ... LL Lk 分 别包含各奇点 外边界线 L 与所有小圆周为边界构 成闭复通区域。 由柯西定理： 分别在各个 的无心邻域0 k <− < zb R中将 f(z)展开成罗朗 级数： ( ) () ( ) k n n k n fz a z b ∞ =−∞ = − ∑ k m =1,2... 代入积分公式： D bk ⇒ bk ∫ ∑∫ = L k Lk f (z)dz f (z)dz 2 2 Re ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , 1 ( ) ( ) k k L n n n k n L n k k n a i i s f b f z dz a z b dz a i k k π π π δ = ⋅ = = − = − ∞ =−∞ ∞ =−∞ ∫ ∑ ∑ ∫ −
→5,=2r2Res(b) k=1 (1)方程左边:解析函数的积分值;方程右边:函数的奇点。 留数定理:将上述两者建立了一种关系。 (2)要计算解析函数的积分,关键:计算留数; (3)留数理论:复变函数的积分与级数相结合的产物; (4)b(k=12…是L所包围的f)所有奇点,而不是fz) 所有的奇点
(1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。 留数定理：将上述两者建立了一种关系。 (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数； (3) 留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； (4) 是 L 所包围的 f(z)的所有奇点，而不是 f(z) 所有的奇点。 ∫ ∑ = ⇒ = m k k L f z dz i sf b 1 ( ) 2π Re ( ) b (k =1,2,") k
、留数的计算方法 针对不同类型的奇点,有不同的计 算公式,见以下公式表
二、留数的计算方法 针对不同类型的奇点，有不同的计 算公式，见以下公式表