§12.4一阶线性微分方程 线性方程 二、伯努利方程 自
一、线性方程 二、伯努利方程 §12.4 一阶线性微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃
线性方程 ◆一阶线性微分方程 形如y+Px)=Qx)的方程称为一阶线性微分方程,并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程,Qx)不恒为零时称为非齐次 线性方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程? (1)(x-2 ah1,更 e) dy dx x-2 y=0,是齐次线性方程 (2)3x2+5x-5y=0,→y=3x2+5x,是非齐次线性方程 (3)y+ cos x=emnx,是非齐次线性方程 (4))=10+y,不是线性方程 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、线性方程 形如y+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖一阶线性微分方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？ y=3x 是非齐次线性方程 2+5x 是非齐次线性方程 (2)3x 2+5x−5y=0 (3)y+ycos x=e −sin x (4) x y dx dy + =10 不是线性方程 (1) y dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy (1) y 是齐次线性方程 dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy (1) y 是齐次线性方程 dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy 是齐次线性方程 (4) x y dx dy + =10 不是线性方程 下页
、线性方程 阶线性微分方程 形如y+Px)=Qx)的方程称为一阶线性微分方程,并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程,Qx)不恒为零时称为非齐次 线性方程 今齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0是变量可分离方程,其通解为 v=Ce/ P(x)dx 提示: P(x)dx → P(x)dx→ In yl=-P(x)x+h|C|→y=Ce 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、线性方程 形如y+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖一阶线性微分方程 ❖齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0是变量可分离方程其通解为 = − P x dx y Ce ( ) 提示 P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C| = − P x dx y Ce ( ) P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C| = − P x d x y Ce ( ) P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C| = − P x d x y Ce ( )
◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)=0的通解为y=CcM 例1求方程(x-2)=y的通解 解原方程可变为 dxv=0 这是齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为 2) e Celn(x-2)=C(x-2) 即 C(x-2) 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖齐次线性方程的通解 例 1 求方程 y dx dy (x−2) = 的通解 解 原方程可变为 0 2 1 = − − y dx x dy 这是齐次线性方程 由通解公式得原方程的通解为 ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x 即 y=C(x−2) ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x 齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为 = − P x d x y C e ( )
◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0的通解为y= Ce- p(r)dr 非齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)=Qx)的通解为 y=u(x)- P(alds 代入非齐次线性方程求得 u(x)=0(xJeJ P(jdx 提示:代入后得到 u(x)e- P(xdx-u(x)e P(x)d P(x)+P(xu(x)e-P(x)dx=O(x) 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示这里所用的方法称为常数变易法这种方法就是把齐次 线性方程的通解中的任意常数C换成末知函数u(x) 然后代入 非齐次线性方程并确定出函数u(x) 提示 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x e u x e P x P x u x e Q x P x d x P x d x P x d x − + = − − − 代入后得到 ❖非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 下页 ❖齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 = − P x dx y u x e ( ) ( ) = P x dx u x Q x e ( ) ( ) ( ) 齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为 = − P x d x y C e ( )