数学分析教学大纲 2005年3月修订 、课程基本信息 1、课程中文名称:数学分析 2、课程类别:必修 3、适用专业:数学与应用数学专业(师范类 4、课程地位:基础课(主干课) 5、总学时:270学时 6、总学分:15学分 7、先修课程:①高中数学②空间解析几何③高等代数④普通物理 8、课程编码0511111 二、课程目标 1、本课程是髙等师范院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课, 它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分 学等方面的系统知识 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率 论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯,也为深入理解中学数学打下必要的基 础。与中学数学的许多内容,如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体 积、弧长等有着密切的联系。 2、通过本课程的讲授与作业应使学生: (1)使学生对极限思想和方法有较深刻的认识,培养学生的辩证唯物主义 观点; (2)正确理解数学分析的基本概念,牢固地掌握数学分析中的基本理论和 基本方法,逐步提髙他们抽象思维和逻辑推理的能力,培养他们熟练的演算技能 和初步应用的能力,为进一步学习其它课程打下基础。 (3)通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学,使学生弄清不变 与变,有限与无限,特殊与一般的辩证关系,进一步培养他们的辩证唯物主义史
1 数学分析教学大纲 2005 年 3 月修订 一、课程基本信息 1、课程中文名称：数学分析 2、课程类别：必修 3、适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 4、课程地位：基础课（主干课） 5、总学时：270 学时 6、总学分：15 学分 7、先修课程：①高中数学 ②空间解析几何 ③高等代数 ④普通物理 8、课程编码 05111101 二、课程目标 1、本课程是高等师范院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课， 它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分 学等方面的系统知识。 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率 论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基 础。与中学数学的许多内容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体 积、弧长等有着密切的联系。 2、通过本课程的讲授与作业应使学生： （1）使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，培养学生的辩证唯物主义 观点； （2）正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和 基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能 和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。 （3）通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变 与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义史 观
3、本课程在第一、二、三学期开设,“大纲内容”括号内所注学时数是指讲 授时数。 4、实施本大纲时,请注意以下几点 (1)在不影响基本要求的情况下,本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排, 可作适当调整 (2)为避免教学上的难点过于集中,有些定理可先提出并应用,把证明推 迟进行,如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后,又如定积分中“上 和与下和,“可积条件”的证明可移到积分法之后,亦可移入实变函数中进行, 可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。 (3)作为中学数学教师,应对“实数理论”有一定的理解。本大纲把“实数理 论”作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍 (4)本大纲列入部分带*号(或在附注中说明)的内容,供选用。 (5)体现师范性,重视应用性。 (6)强调素质教育,将素质教育贯穿于整个课程教学之中 课程内容 第一章函数(6学时) [教学目的与要求] 要求学生深刻理解函数概念,掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理 和初等函数的概念,进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数 [教学内容] 1、实数、区间与邻域 2、有界集、确界与确界原理 3、函数概念,函数的几种表示法(解析法、列表法和图象法等)。函数的四 种运算。复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数 4、具有某些特殊类型的函数:有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周 期函数 附注] (1)为了与中学数学相衔接,建议用无限十数定义实数,并指出它的性质
2 3、本课程在第一、二、三学期开设， “大纲内容”括号内所注学时数是指讲 授时数。 4、实施本大纲时，请注意以下几点： （1）在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排， 可作适当调整。 （2）为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推 迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后，又如定积分中“上 和与下和”，“可积条件”的证明可移到积分法之后，亦可移入实变函数中进行， 可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。 （3）作为中学数学教师，应对“实数理论”有一定的理解。本大纲把“实数理 论”作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。 （4）本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。 （5）体现师范性，重视应用性。 （6）强调素质教育，将素质教育贯穿于整个课程教学之中。 三、课程内容 第一章 函数（6 学时） [教学目的与要求] 要求学生深刻理解函数概念，掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理 和初等函数的概念，进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数。 [教学内容] 1、实数、区间与邻域 2、有界集、确界与确界原理 3、函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。函数的四 种运算。复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数 4、具有某些特殊类型的函数：有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周 期函数 [附注] （1）为了与中学数学相衔接，建议用无限十数定义实数，并指出它的性质
(2)在中学已学过“集合”、“对应”的基础上,建议用“映射”的观点定义函 数,并引用记号∫:x→>y。 (3)在中学数学中的应用。 第二章数列极限(10学时) [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握数列极限的定义,并会用E-N定义证明数列的极限, 能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。 [教学内容] 1、数列,数列极限的￡-N定义,无穷小数列 2、收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四 则运算及子列 3、有界单调数列极限存在定理。lm(1+-)"=e。柯西收敛准则 [附注] 在中学数学中的应用 第三章函数极限(10学时) [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握各种趋势函数极限的定义,学会用定义证明函数的极 限,能熟练用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限,能利用极限存在准则 判定函数极限存在或不存在,掌握无穷小量、无穷大量及其阶的概念。 [教学内容] 1、函数极限,E-δ定义,E-M定义,单侧极限 2、函数极限性质:唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛 性、四则运算 3、函数极限存在的条件:归结原则( Heine定理),函数极限的单调有界定 理和函数极限的柯西准则
3 （2）在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“映射”的观点定义函 数，并引用记号 f : x → y 。 （3）在中学数学中的应用。 第二章 数列极限（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握数列极限的定义，并会用 − N 定义证明数列的极限， 能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。 [教学内容] 1、数列，数列极限的 − N 定义，无穷小数列 2、收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四 则运算及子列 3、有界单调数列极限存在定理。 n n n ) 1 lim (1+ → =e。柯西收敛准则 [附注] 在中学数学中的应用。 第三章 函数极限（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握各种趋势函数极限的定义，学会用定义证明函数的极 限，能熟练用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限，能利用极限存在准则 判定函数极限存在或不存在，掌握无穷小量、无穷大量及其阶的概念。 [教学内容] 1、函数极限， − 定义， − M 定义，单侧极限 2、函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛 性、四则运算 3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine 定理），函数极限的单调有界定 理和函数极限的柯西准则
4、两个重要极限:Imn亞x=1,Im(+x)2=e 5、无穷小量及其阶的比较。记号0、O、~。广义极限:G-δ,G-M, G-N的定义,无穷大量及其阶的比较,应用等价无穷小(大)量的代换法求极 限 [附注] (1)在中学数学中的应用。 (2)用等价关系的观点去处理等价无穷小量 (3)可介绍函数情形的stoz公式和等价无穷大量。 第四章函数的连续性(10学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握连续函数的概念,熟悉连续函数的局部性质及初等函数的连续 性;了解函数间断点的分类,牢记闭区间上连续函数的性质,并能应用这些性质 解决一些有关问题 [教学内容] 1、在一点函数的连续性、单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的 函数 2、连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合 函数的连续性。闭区间上连续函数的性质—有界性、取得最大最小值性、介值 性、一致连续性。反函数的连续性 3、初等函数连续性 附注] (1)在讲授“初等函数连续性”时,应给出“实指数的乘幂”的定义 (2)在中学数学中的应用 (3)在证明不等式中的应用 4)闭区间上连续函数性质的几个定理的证明可移入拓扑学中,教学时可 直接用其结论。 (5)可引入记号C[a,b,Ba,b
4 4、两个重要极限： 1 sin lim 0 = → x x x ， x e x x + = → 1 0 lim (1 ) 5、无穷小量及其阶的比较。记号 0、O 、～。广义极限：G − ，G − M ， G − N 的定义，无穷大量及其阶的比较，应用等价无穷小（大）量的代换法求极 限 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）用等价关系的观点去处理等价无穷小量。 （3）可介绍函数情形的 stolz 公式和等价无穷大量。 第四章 函数的连续性（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握连续函数的概念，熟悉连续函数的局部性质及初等函数的连续 性；了解函数间断点的分类，牢记闭区间上连续函数的性质，并能应用这些性质 解决一些有关问题。 [教学内容] 1、在一点函数的连续性、单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的 函数 2、连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合 函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值 性、一致连续性。反函数的连续性 3、初等函数连续性 [附注] （1）在讲授“初等函数连续性”时，应给出“实指数的乘幂”的定义。 （2）在中学数学中的应用。 （3）在证明不等式中的应用。 （4）闭区间上连续函数性质的几个定理的证明可移入拓扑学中，教学时可 直接用其结论。 （5）可引入记号 C[a, b], B[a, b]
第五章导数与微分(14学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握导数、微分的概念和基本导数公式;掌握求导和微分法则,能 熟练地计算初等函数的各阶导数和微分。 [教学内容] 1、导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义 2、求导法则:和、差、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。 初等函数的导数 3、微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性 4、高阶导数与高阶微分 5、由参量方程所确定的函数的导数 [附注] (1)结合求导举例,可介绍对数求导法 (2)高阶导数的莱布尼茨( Leibniz)公式可述而不证。 (3)凑微法的应用。 (4)可引用记号C[a,b]。 第六章中值定理与导数应用(16学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握中值定理与泰勒公式;理解中值定理的几何意义和证明方法, 能熟练地利用洛必达法则求不定式的极限。能熟练地利用导数讨论函数的单调 性、极值、凸性及作函数的图象。 [教学内容] 1、费马( Fermat)定理。罗尔(Role)中值定理。拉格朗日( Lagrange) 中值定理。柯西( Cauchy)中值定理 2、不定式极限 3、泰勒( Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余项)。近似计算 4、函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值
5 第五章 导数与微分（14 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握导数、微分的概念和基本导数公式；掌握求导和微分法则，能 熟练地计算初等函数的各阶导数和微分。 [教学内容] 1、导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义 2、求导法则：和、差、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。 初等函数的导数 3、微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性 4、高阶导数与高阶微分 5、由参量方程所确定的函数的导数 [附注] （1）结合求导举例，可介绍对数求导法。 （2）高阶导数的莱布尼茨（Leibniz）公式可述而不证。 （3）凑微法的应用。 （4）可引用记号 C [a, b] r 。 第六章 中值定理与导数应用（16 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握中值定理与泰勒公式；理解中值定理的几何意义和证明方法， 能熟练地利用洛必达法则求不定式的极限。能熟练地利用导数讨论函数的单调 性、极值、凸性及作函数的图象。 [教学内容] 1、费马（Fermat）定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange） 中值定理。柯西（Cauchy）中值定理 2、不定式极限 3、泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）。近似计算 4、函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值