§1.8周期为2)的周期函数的傅里叶级数 到现在为止,我们所讨论的周期函数都是以2z 为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函数,它的 周期不一定是2x.怎样把周期为2l的周期函数(x)展 开成三角级数呢? 自
首页 上页 返回 下页 结束 铃 §11.8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以2p 为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的 周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展 开成三角级数呢？
分析 设函数f(x)以2z为周期,则函数F()=f(1)以2z为周期 这是因为 F(t+2)=f1-(t+2)f(-t+2/)=f(-t)=F(t) 奇延拓若f()=0 若f0≠0 f(x)0<x≤x f(x)0≤x≤ FO F(x) 0 f(x)-元<x<0 f(x)-x<x<0 偶延拓 x<0 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖分析 这是因为 ( 2 ) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t) l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p ) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p p . 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( ) ( t) l F t f p 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( )= ( t) 以 2p为周期. l F t f p = 以 2p为周期. 下页
今分析 设函数f(x)以2z为周期,则函数F()=f(1)以2z为周期 当F()满足收敛定理的条件时,可展开成傅里叶级数: F(0=+>(ancosnt+bn sin nt) 其中 1 F(tcosnto 丌 、 F(Osin ntt 丌 令x=t,即t=,则有 f(x)=0+2(an cos+,sin ") 1= f(x)cos nTA dx b f(x)sin niU dt 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 当F(t)满足收敛定理的条件时, 可展开成傅里叶级数: 其中 − = p p p a F t ntdt n ( )cos 1 , − = p p p b F t ntdt n ( )sin 1 . ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nt b nt a F t n n n = + + = , 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( ) ( t) l F t f p 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( )= ( t) 以 2p为周期. l F t f p = 以 2p为周期. 令 t l x p = , 即 l x t p = , 则有 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n p p = + + = , − = l l n dx l n x f x l a p ( )cos 1 , − = l l n dt l n x f x l b p ( )sin 1 . − = l l n dx l n x f x l a p ( )cos 1 , − = l l n dt l n x f x l b p ( )sin 1 . 下页 ❖分析
今定理 设周期为2的周期函数(x)满足收敛定理的条件,则它的 傅里叶级数展开式为 f(x)=当+2(n n=/ cosa +b, sin"m) 其中an=1(x)cx(=0,1,2…) f(x)sin dx(n=1,2,…) 注:当fx)为奇函数时,an=0(n=0,1,2,…),fx)的傅里叶级数 为正弦级数; 当fx)为偶函数时,b,0(n=1,2,……),fx)的傅里叶级数为 正弦级数 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 − = l l n dx l n x f x l b p ( )sin 1 (n=1, 2, ). 其中 − = l l n dx l n x f x l a p ( )cos 1 (n=0, 1, 2, ), 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件, 则它的 傅里叶级数展开式为 ❖定理 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n p p = + + = , 当f(x)为奇函数时, an =0(n=0, 1, 2, ), f(x)的傅里叶级数 为正弦级数; 当f(x)为偶函数时, bn =0(n=1, 2, ), f(x)的傅里叶级数为 正弦级数. 注: 下页
例1设(x)是以4为周期的函数,它在[-2,2)上的表达式为 0-2<x<0 f(x)= (常数k≠0) k0<x<2 将(x)展开成傅里叶级数 解函数f(x)在点x=0,±2,±4,±6,……是间断的,在这些点 (x)的傅里叶级数收敛于k 2 k 2 O 2 02 fx)的图形 和函数的图形 返回 页结東
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在[−2, 2)上的表达式为 − = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x (常数 k0). 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 函数f(x)在点x=0, 2, 4, 6, 是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 . 2 k 下页 f(x)的图形 和函数的图形