第二章复变函数的积分 在微积分学中,微分法、积分法是研究函数性质的重要 方法。 在复变函数中,微分法、积分法是研究复变函数性质的 重要方法和解决实际问题的有力工具。 §21复变函数的积分一复平面上的线积 分 复变函数积分的定义
第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分 —复平面上的线积 分 一、复变函数积分的定义 在微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要 方法。 在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的 重要方法和解决实际问题的有力工具
与实数函数的积分相似,复变函数的积分定义为和的极限。 1.定义:(1)设L为复平面上由A到B的一条光滑的曲线, W=f(z)在L上有定义; (2)将L任意分成n段,为第k段[k1让上的任意一点 (3)当n→O,且max△=→>0时,若和式的极限 lim∑f()k 存在,并且极限值与Ac4和5的选取方式无关,则称它 为f(z)沿L从A到B的积分,记作: 「=m∑/ 积分存在的条件: (1)积分曲线L是分段光滑的曲线; (2)被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数
与实数函数的积分相似，复变函数的积分定义为和的极限。 1． 定义： (1) 设 L 为复平面上由 A 到 B 的一条光滑的曲线， w=f(z)在 L 上有定义； (2)将 L 任意分成 n 段， 为第 k 段 上的任意一点; (3)当 ，且 时，若和式的极限 存在，并且极限值与 和 的选取方式无关，则称它 为 f(z)沿 L 从 A 到 B 的积分，记作： max 0 1 ( ) lim ( ) n k k z L k f z dz f z ζ Δ → = ∫ = Δ ∑ 积分存在的条件： （1） 积分曲线 L 是分段光滑的曲线； （2） 被积函数 f(z)是积分曲线上的连续函数。 ξ k [ , ] k 1 k z z − n → ∞ max Δz k → 0 ∑ Δ → = Δ n k k k z f z max k 0 1 ( ) lim ξ k Δz ξ k
2.复变函数积分的计算一分解为实变函数的积分的计算 方法一:f(z)-+in dzdx+id ∫(+m(+d)(m-)+小o+h) 复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分 方法二:若曲线L用参数方程=(表示a≤t≤B,则 dz=i'(tdt 「件(1:()(
2．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算 方法一：f(z)=u+iv dz=dx+idy ( ) ( )( ) ( ) ( ) LL L L f z dz u iv dx idy udx vdy i vdx udy =+ + = − + + ∫∫ ∫ ∫ ——复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分 方法二：若曲线 L 用参数方程 z=z(t)表示 ，则 dz z t dt = ′( ) ( ) [ ( )] ( ) L f z dz f z t z t dt β α = ′ ∫ ∫ α ≤ t ≤ β
二、复变函数积分的性质(可由实变函数积分性质得到) d z =2B-2 2()=-」 36()=()k复常数 L 4j()士A()=()士 L 5Jf(=jf()+( L1+L2 6/(5(l L
1. AB B A L dz z z = − ∫ 2. ( ) ( ) L L AB BA f z dz f z dz = − ∫ ∫ 3. ( ) ( ) L L kf z dz k f z dz = ∫ ∫ 12 1 2 4. [ ( ) ( )] ( ) ( ) L LL f z f z dz f z dz f z dz ±= ± ∫ ∫∫ 12 1 2 5. ( ) ( ) ( ) LL L L f z dz f z dz f z dz + = + ∫ ∫∫ 6. ( ) ( ) L L f z dz f z dz ≤ ∫ ∫ k：复常数 二、复变函数积分的性质（可由实变函数积分性质得到）
证明:三角不等式+-」=+2推广为: ∑ k=1 e=m,∑/≥lmn>//k 7.若f(-在曲线L上的最大值为M,曲线L的长度为S,则 fred=s MS L 证明:(A
证明：三角不等式 12 1 2 zz z z +≤+ 推广为： 1 1 n n k k k k z z = = ∑ ∑≤ max 0 max 0 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) k k n n k k kk z z L k k L f z dz f z f z f z dz ζ ζ Δ→ Δ→ = = ∫ ∫ = Δ≥ Δ= ∑ ∑ 7．若 f z( ) 在曲线 L 上的最大值为 M，曲线 L 的长度为 S，则 ( ) L f z dz MS ≤ ∫ 证明： () () L L L f z dz f z dz M dz MS ≤ ≤≤ ∫∫ ∫