第六章线性常微分方程的级数解法 球函数与柱函数 主要内容:利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。 级数解法的基本思想:把方程的解表示为以=为中心、带有待定 系数的幂级数,将这个幂级数带入方程及定解条件,求出所有待 定系数即该方程的解。 说明:(1)级数解法是一个比较普遄的方法,对方程无特殊的要求。 (2)对于级数,存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解 法要选定某个点二作展开中心,得到的解是以二0为中心 的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆,级数解只 在收敛圆内部才有意义
第六章 线性常微分方程的级数解法 球函数与柱函数 主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。 级数解法的基本思想：把方程的解表示为以 0 z 为中心、带有待定 系数的幂级数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待 定系数即该方程的解。 说明：(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。 (2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解 法要选定某个点 作展开中心，得到的解是以 为中心 的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只 在收敛圆内部才有意义。 0 z 0 z
§6.1二阶线性齐次常微分方程的级数解法 方程的常点和奇点 方程的标准形式: (-)+p(-)m(-)+(-)M(-)=0 其中:()未知的复变函数,P9()—已知的复变函数 (方程的系数) 要求解的问题:在一定条件下(如初始条件1w(-)=cn(=)=c)满足 (1)的m(z) 方程(①)的解的性质(解的存在性,唯一性,稳定性,单值性,有限性) 由方程的系数p{)和q(2)的解析性确定
方程的标准形式： w z pzw z qzwz ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0 + += (1) 其中：w(z)——未知的复变函数， pz qz ( ), ( )——已知的复变函数 (方程的系数) 要求解的问题：在一定条件下(如初始条件 )满足 (1)的 w(z)。 方程(1)的解的性质(解的存在性，唯一性，稳定性，单值性，有限性…) 由方程的系数 p(z)和 q(z)的解析性确定。 §6.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 一、方程的常点和奇点 0 0 0 1 w(z ) = c , w'(z ) = c
设p(2和q(z)在一定的区域中,除若干个孤立奇点外,是z的 单值解析函数。区域中的点可分为两类: (1)方程的常点:如果p)和q(-)都在点二邻域解析,则=称为方 程的常点。 2)方程的奇点:只要两系数p)和)之一在点0不解析,就称 二0为方程的奇点。 如果最多是p(z)的一阶极点、q)的二阶极点,则2称为方程的 正则奇点。否则,则2称为方程的非正则奇点
设 p(z)和 q(z)在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的 单值解析函数。区域中的点可分为两类： (1) 方程的常点：如果 p(z)和 q(z)都在点 邻域解析，则 称为方 程的常点。 (2) 方程的奇点：只要两系数 p(z)和 q(z)之一在点 不解析，就称 为方程的奇点。 如果 最多是 p(z)的一阶极点、q(z)的二阶极点，则 称为方程的 正则奇点。否则，则 称为方程的非正则奇点。 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z
常点邻域的级数解 可以证明:在常点-0的邻域=-<R内,方程()有唯 满足初始条件w(=)=C,w(a)=C的幂级数解,具有形式: ()=∑C(-=-) (C0C1:任意常数) k=0 求厄米特方程w"-2zn+n"=0在二邻域内的解
二、常点邻域的级数解 可以证明：在常点 的邻域 0 zz R − < 内，方程(1)有唯一 满足初始条件 0 0 wz C ( ) = ， 0 1 wz C '( ) = 的幂级数解，具有形式： 0 0 () ( ) k k k wz C z z ∞ = = − ∑ （ 0 1 C C, ：任意常数） 求厄米特方程 在 邻域内的解。 0 z 0 w''− 2zw'+ λw = 0 z
解:1.级数解的形式 由于p(2)=-2,q()=4,在0=0解析→20是方程的常点 级数解具有以下形式: ()=∑C(2-=-)(cnc:任意常数) k=0 2将级数解代入方程,求待定系数。 ∑Ck(k-1)2-2∑Ck+x22=0 为比较同次幂的系数,对上式作变换
解：1. 级数解的形式 由于 ，在 解析 是方程的常点 级数解具有以下形式： 0 0 () ( )k k k wz C z z ∞ = = − ∑ 2.将级数解代入方程，求待定系数。 2 1 0 00 ( 1) 2 0 k kk k kk k kk C k k z z C kz C z λ ∞ ∞∞ − − = == ∑ ∑∑ −− + = (1) 为比较同次幂的系数，对上式作变换： p(z) = −2z, q(z) = λ z0 = 0 0 ⇒ z ( c0 , c1：任意常数)