第五章解析延拓与黎曼面 §5.1解析延拓函数 解析延拓:将解析函数定义域加以扩大 解析延拓的一个例子 幂级数:1+2+22+…在以二=0为圆心的单位圆内代表一个 解析函数,令为f(),即(=∑:=1+2+2+1 Z< 在圆外,级数是发散的
第五章 解析延拓与黎曼面 §5.1 解析延拓 Γ函数 解析延拓：将解析函数定义域加以扩大 一、解析延拓的一个例子 幂级数： 2 1 ... ++ + z z 在以 z = 0 为圆心的单位圆内代表一个 解析函数，令为 1f z( ) ，即 2 1 0 1 ( ) 1 ... 1 k k fz z z z z ∞ = = =+ + + = − ∑ ( 1) z < 在圆外，级数是发散的
()在圆内一点2=2的泰勒展开: f(=) f()=∑ ∑ k+1 但这级数的收敛半径为: R=lim R 故相应的收敛圆D2跨出原来的收敛圆D之外,而级数(1)在收敛圆 内D代表解析函数2(x),于是称(2)f(-)在D2内的解析延拓
1f z( )在圆内一点 1 2 z i = 的泰勒展开： ( ) 1 2 0 0 1 () ( ) 2 2 () ( ) ! 2 (1 ) 2 k k k k k k i i f z i fz z k i ∞ ∞ = = + − = −= − ∑ ∑ 但这级数的收敛半径为： 1 1 (1 ) 5 2 lim 1 1 2 2 (1 ) 2 k R k i i R i →∞ + − = =− = − 故相应的收敛圆 跨出原来的收敛圆 之外，而级数(1)在收敛圆 内 代表解析函数 ，于是称 为 在 内的解析延拓。 D2 D1 D2 ( ) 2f z ( ) 2f z ( ) 1f z D2
对于 (2 k=0 (2 k+1 2 < 又 2 →F2()
对于 2 2 2 0 1 23 2 () () () 1 1 2 2 2 22 ( ) ... 1 ... (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 22 2 2 2 2 k k k i i i ii z z z zz F z i ii i i i i ∞ = + ⎛ ⎞ − − − −− ⎜ ⎟ = = + + += + + + ⎜ ⎟ − −− − − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 又 1 1 ( ) 2 (1 ) 2 2 1 () 1 2 2 (1 ) 2 k k k k i z i i z q i i z i + + − − − = =< − − − 2 1 11 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 1 11 ( ) 2 2 2 22 2 1 1 2 i F z i i i ii i q z z z i − ⇒= = = = − − − − − − −− − − −
可见f)和f(这两个解析函数只是同一个解析函数 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己的范围 ((-:D3,f2(x):D2),同时也有公共的有效范围(两圆重叠部分 D2)。 当然常常不能得到这样一个在函数的全部解析区域内都有 效的统一表达式,而是需要用解析延拓的方法推出分别在不同 区域中有效的表达式
可见 1f z( )和 2f z( )这两个解析函数只是同一个解析函数 1 1− z 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己的范围 1 12 2 ( ( ): , ( ): ) fz Df z D ，同时也有公共的有效范围（两圆重叠部分 D12）。 当然常常不能得到这样一个在函数的全部解析区域内都有 效的统一表达式，而是需要用解析延拓的方法推出分别在不同 区域中有效的表达式
、解析延拓的概念 概念 若f()和(2)分别在D,D2内解析,且在D与D重叠的区域 中有f()=(),则称2()为f()在D2中的解析延拓,/()为f(2) 在D中的解析延拓 定义:解析元素—区域与解析函数的组合{D,f(){D,()
二、解析延拓的概念 1. 概念： 若 1f z( ) 和 2f z( ) 分别在 1 2 D D, 内解析，且在 与 重叠的区域 中有 1 2 fz f z () () = ，则称 2f z( ) 为 1f z( ) 在 中的解析延拓， 为 2f ( )z 在 中的解析延拓。 定义：解析元素——区域与解析函数的组合{ } 1 1 Dfz , () { } 2 2 Dfz , () D1 D2 D2 D1 ( ) 1f z