第三章复变函数的级数 无穷级数: 系列无穷多个数l1,l2l2…;un…写成l1+l2+l2+…+un+ 就称为无穷级数,记为∑n。这仅仅是一种形式上的相加。 这种加法是不是具有和数呢?这个和数的确切意义是什么 呢? 若级数∑n收敛于S,也称此值S为级数的和数’
第三章 复变函数的级数 无穷级数： 一系列无穷多个数 写成 就称为无穷级数，记为 。这仅仅是一种形式上的相加。 这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义是什么 呢？ 若级数 收敛于 S，也称此值 S为级数的‘和数’。 u1 ,u 2 ,u3",u n " u1 + u 2 + u3 + " + u n + " ∑ ∞ n =1 n u ∑ ∞ n =1 n u
为什么要研究级数? (1)级数可作为函数的表达式,是研究函数的工具; (2)常微分方程的级数解。 以下问题值得关心: (1)级数的敛散性; (2)级数收敛的定义、条件、判据; (3)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等
为什么要研究级数？ ( 1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； ( 2) 常微分方程的级数解。 以下问题值得关心： (1)级数的敛散性； (2) 级数收敛的定义、条件、判据； (3) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等
§3.1复数项级数 、复数项级数 1.定义:形如∑=+++…++灬的级数称为复数 项级数,其中n=an+i,且a和b为实常数 2.部分和: 十21+2,+.2
1. 定义：形如 012 0 ...... ..... n n n z zzz z ∞ = ∑ = ++ + + + 的级数称为复数 项级数，其中 nn n z a ib = + , 且an和bn为实常数 2. 部分和： 1 012 1 0 ...... n n nk k s zzz z z − − = = +++ + = ∑ §3.1 复数项级数 一、复数项级数
3收敛的条件和定义 a定义:如果当n→∞时,部分和5=∑:有确定的极限 即 Ims= s 则称级数∑收敛,s称为级数和。反之,如果极限不存在, 则称级数发散。 b收敛的必要条件:{m2=0 证明:Sk=21+2+…+k2+k1+k=8k1+k→=Sk-S
3.收敛的条件和定义 a.定义：如果当n → ∞时，部分和 1 0 n n k k s z − = = ∑ 有确定的极限， 即 lim n n s s →∞ = 则称级数 0 n k k z = ∑ 收敛，s 称为级数和。反之，如果极限不存在， 则称级数发散。 b.收敛的必要条件：lim 0 k k z →∞ = 证明： 12 2 1 1 1 ...... k k k kk k kkk s zz z z z s z z ss =++ + + + = +⇒ =− −− − −
由级数收敛得:m:= Imsk-lims:=0 →)00 c.收敛的充分必要条件: 任给E>0,存在自然数N(),且当n>N()时,对任 何自然数p,如果有∑<成立,则∑收敛 4绝对收敛的定义及其判别法 a定义:若∑收敛,则称∑绝对收敛
由级数收敛得： 1 lim lim lim 0 k kk k kk z ss − →∞ →∞ →∞ =− = c.收敛的充分必要条件： 任给ε > 0 ，存在自然数 N( ) ε ，且当 n N > ( ) ε 时，对任 何自然数 p，如果有 1 n p k k n z ε + = + ∑ < 成立，则 0 k k z ∞ = ∑ 收敛。 4.绝对收敛的定义及其判别法 a.定义：若 0 k k z ∞ = ∑ 收敛，则称 0 k k z ∞=∑ 绝对收敛