第八章行波法与平均值法 用行波法求解波动方程的基本思想 先求出偏微分方程的通解,然后用定解条件确定特解。 评述:这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤:通过变量变换,将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程
第八章 行波法与平均值法 用行波法求解波动方程的基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程
8.1无界弦的自由振动 无界弦的自由振动 (1)无界弦的涵义:不是无限长的弦,是所关心的那一段弦远 离两端,在所讨论的时间内,弦两端的影响来不及传到这段弦 上,因而认为弦的两端在无限远,就不必给弦的两端提出边界条 件。定解问题→初值问题 (2)自由振动:弦不受强迫力的作用,振动是自由的→方程齐次 定解问题: (x,0)=(x) -00<x<0 l1(x,0)=y(x) 0(x):初位移;(x):初速度
8.1无界弦的自由振动 一、无界弦的自由振动 (1) 无界弦的涵义： 不是无限长的弦，是所关心的那一段弦远 离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦 上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条 件。定解问题 初值问题 (2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程齐次 定解问题： 2 0 tt xx u au − = ux x ( ,0) ( ) = ϕ −∞ < < ∞ x −∞ < < ∞ x ：初位移； ：初速度 ⇒ ⇒ ϕ( x ) ψ ( x ) u ( x,0 ) ( x ) t = ψ
、用行波法解方程 1.求偏微分方程的通解 泛定方程:l1n-alx=0 →(+a)(-a厘u=0 at a 作变量代换: L=x+at n=x-at →X
二、用行波法解方程 1. 求偏微分方程的通解 泛定方程： 2 0 tt xx u au − = ( )( ) 0 a au t xt x ∂ ∂∂ ∂ ⇒+ − = ∂ ∂∂ ∂ 作变量代换： x at x at ξ η = + = − ( ) 21 ( ) 21 ⇒ = ξ +η = ξ −η a x t
aa ax a at a1 a as ax a5 at as 2 ax a at aa ax a at an ax an at an 2 ax a a 010、1010 ll inds 2 ax a at 2 Ox a Ot au 1 u -a ll L.-a2u=0→l.=0 对7积分:=() 再对ξ积分: n=」/(5=(5)+A(m) →l=f(x+a)+(x-a)
2 0 0 tt xx u au u − =⇒ = ξη 对 积分：u f ( ) ξ = ξ 再对 积分： 1 2 1 2 () () () ( )( ) u fdf f u f x at f x at = =+ ξξ ξ η ⇒= + + − ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ) 1 ( 41 ) 1 ( 21) 1 ( 21 ) 1 ( 21 ) 1 ( 21 a u a u t u x a u x a t x a t u u x a t t t x x x a t t t x x tt − xx = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ η ξ η η η ξ ξ ξ ξη η ξ
2.利用定解条件来确定升,f2 由初始条件得:(x0)=f1(x)+2(x)=0(x) l(x0=20f(x)-02(x)=0(x) 由(2)积分: If()=f2(x)]dx=- o(s)ds A(x)(-J0h+其中=(x)-(x) 由(1)和(3) f(x)==0(x)+ cQ]y(saxo f(x)=9(x)-∫vd xtar →认(x1)=[0(x+an)+(x-a)+|v(sds 达朗贝尔公式
2 . 利用定解条件来确定 由初始条件得： 1 2 ux f x f x x ( ,0) ( ) ( ) ( ) =+ = ϕ (1) 1 2 ( ,0) ( ) ( ) ( ) t u x af x af x x =−= ′ ′ ϕ (2) 由（2）积分： 0 0 1 2 1 [ ( ) ( )] ( ) x x x x f x f x dx s ds a ′ − = ′ ϕ ∫ ∫ 0 1 2 10 20 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) x x f x f x s ds c c f x f x a −= + = − ϕ ∫ 其中 (3) 由(1)和(3)： 0 0 1 2 1 1 () () () 22 2 1 1 () () () 22 2 1 1 (,) [ ( ) ( ) () 2 2 x x x x x at x at c f x x s ds a c f x x s ds a u x t x at x at s ds a ϕ ψ ϕ ψ ϕϕ ψ + − =+ + =− − ⇒ = ++ −+ ∫ ∫ ∫ ——达朗贝尔公式 1 2 f , f