概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 属于取球问题的一个实例: 设有100件产品,其中有5%的次品,今从中随机抽取15件,则其中恰有2件次品的概率便为 =0.1377 (属于一次取球模型) 例3(分球问题)将n个球放入N个盒子中去,试求恰有n个盒子各有一球的概率(n≤N)。 解:令A={恰有n个盒子各有一球},先考虑基本事件的总数 M=M·M…M=M*先从N个盒子里选n个盒子,然后在n个盒子里n个球全排列 NA 故P(A)= 属于分球问题的一个实例: 全班有40名同学,向他们的生日皆不相同的概率为多少?令A={40个同学生日皆不相同},则有 故P(A= ≈0.109 (可以认为有365个盒子,40个球) 例4(取数问题) 从0,1,……9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列,求下列 事件的概率:(1)四个数排成一个偶数:(2)四个数排成一个四位数:(3)四个数排成一个四位偶数 解:令A={四个数排成一个偶数},B={四个数排成一个四位数},C={四个数排成一个四位偶数} 。-4-10×9×8×7,M4-,4-5×9×8×7,故P(A 5×9×8×7 10×9X8×705 M2=46-43=10×9×8×7-9×8×7,故P(B) 10×9×8×7-9×8×7 0×9×8×7 的-(yk 5×9×8×7-4X8×7,故P(C)-5x98×7=4x8x7-0456 10×9×8×7 第6页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 6 页 @kaiziliu 属于取球问题的一个实例： 设有 100 件产品，其中有 5%的次品，今从中随机抽取 15 件，则其中恰有 2 件次品的概率便为 （属于一次取球模型） 例 3（分球问题）将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（n≤N）。 解： 令 A={恰有 n 个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数 先从 N 个盒子里选 n 个盒子，然后在 n 个盒子里 n 个球全排列 故 属于分球问题的一个实例： 全班有 40 名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令 A={40 个同学生日皆不相同}，则有 (可以认为有 365 个盒子，40 个球) 故 例 4（取数问题） 从 0，1，……,9 共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列 事件的概率：（1） 四个数排成一个偶数；（2） 四个数排成一个四位数；（3） 四个数排成一个四位偶数； 解：令 A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数} ，
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例5(分组问题)将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人,分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里 有4张A牌的概率各为多少? 解:令A={有人手里有13张黑桃},B={有人手里有4张A牌} 4-(611 于是P(A)=4 63×10-2 N(52(392613)(52 4Y48Y39Y26Y13 B 9131313故p、=9 =0.01 M(52)(39)(2613 不难证明,古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质 1°P(A)≥0 2°P(9)=1 A,AA两互不相,则4-P) 2、概率的统计定义 频率:在n次重复试验中,设事件A出现了mA次,则称:f2(4=_为事件A的频率。频率具有 定的稳定性。示例见下例表 正面(A)出现的 试验者 抛硬币次数n正面(A)出现次数m频率A(4-2 德·摩尔根 2048 1061 浦丰 4040 2148 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 第7页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 7 页 @kaiziliu 例 5（分组问题）将一幅 52 张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得 13 张黑桃及有人手里 有 4 张 A 牌的概率各为多少？ 解：令 A={有人手里有 13 张黑桃}，B={有人手里有 4 张 A 牌} 于是 ，故 不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质： 1° P（A）≥0 2° P（Ω）=1 3° 若 A1，A2，……，An 两两互不相容，则 2、概率的统计定义 频率：在 n 次重复试验中，设事件 A 出现了 nA 次，则称： 为事件 A 的频率。频率具有一 定的稳定性。示例见下例表 试验者 抛硬币次数 n 正面（A）出现次数 nA 正面（A）出现的 频率 德·摩尔根 2048 1061 0．5180 浦丰 4040 2148 0．5069 皮尔逊 12000 6019 0．5016 皮尔逊 24000 12012 0．5005 维尼 30000 14994 0．4998
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 定义2:在相同条件下,将试验重复n次,如果随着重复试验次数n的增大,事件A的频率f(A越来越 稳定地在某一常数p附近摆动,则称常数p为事件A的概率,即P(A)= 不难证明频率有以下基本性质: 2°f32)=1 3°若A,A,…,两两互不相容,则fdJA)=∑(4) 3、概率的公理化定义(数学定义 定义3:设某试验的样本空间为9,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理: 1°P(A)≥0(非负性)2°P(Ω)=1(规范性) 3°若A,A2,…An…两两互不相容,则PA)=∑P(A)(可列可加性,简称可加性) 则称P(A)为A的概率 4、几何定义 定义4:假设9是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域,从Ω中随机地选择一点,即9中任何一点都有 同样的机会被选到,则相应随机试验的样本空间就是Ω,假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集,则 P(A)=0(A)0(9) §2概率的性质 性质1:若AcB,则P(BA=P(B)-P(A0 差的概率等于概率之差 证:因为:ACB 所以:B=AU(B-A)且A∩(BA)=中,由概率可加性 B-A fP(B)=PAU (B-A)=P(A)+P(B-A) B=AU(B-A) 即P(B-A)=P(B)-P(A) 性质2:若ACB,则P(A)≤P(B)一一概率的单调性 证:由性质1及概率的非负性得0≤P(BA)=P(B)-P(A),即P(A)≤P(B) 性质3:P(A)≤1 证明:由于AcΩ,由性质2及概率的规范性可得P(A)≤1 性质4:对任意事件A,P(A)=1P(A) 证明:在性质1中令B=9便有P(A)=P(9-A)=P(9)-P(A)=1P(A) 第8页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 8 页 @kaiziliu 定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越 稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质： 1° 2° 3° 若 A1，A2，……，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义 （数学定义） 定义 3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件 A 定义一个实数 P（A），如果它满足下列三条公理： 1° P（A） ≥0（非负性） 2° P（Ω）=1（规范性） 3° 若 A1，A2，……，An……两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性） 则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义 定义 4：假设Ω是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有 同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件 A 是Ω中任何一个可度量的子集，则 P(A)==ū(A)/ ū(Ω) §2 概率的性质 性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差 证： 因为：A B 所以：B=A∪(B-A)且 A∩(B-A)=φ,由概率可加性 得 P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性质 2：若 A B， 则 P（A）≤P（B） ——概率的单调性 证：由性质 1 及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即 P（A）≤P（B） 性质 3：P（A）≤1 证明：由于 A Ω，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）≤1 性质 4：对任意事件 A，P（ ）=1-P（A） 证明：在性质 1 中令 B=Ω便有 P（ ）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 性质5:P(φ)=0证:在性质4中,令A=9,便有P(φ)=P()=1-P(Ω)=1-1=0 性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AB)甲P(A)坤(B)→P(AB) 证:由于AUB=AU(B-AB)且A∩(BAB)=φ(见图) 由概率的可加性及性质1便得 AB B-AB P(AUB)=PIAU (B-AB)]P(A)+P(B-AB) AUB=AU(B-AB) =P (A)+P (B)-P (AB) 推广:P( AUBUC)=P(A)+P(B)(0)P(AB)-P(A0)→P(B0)+(ABC) 例6设10个产品中有3个是次品,今从中任取3个,试求取出产品中至少有一个是次品的概率。 解:令C={取出产品中至少有一个是次品},则C={取出产品中皆为正品},于是由性质4得 P(C)=1-P(C)=1 =1-=二=0.71 例7,甲,乙两城市在某季节内下雨的概率分别为04和0.35,而同时下雨的概率为0.15,问在此季节 内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率 解:令A={甲城下雨},B={乙城下雨},按题意所要求的是 P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6 例8.设ABC为三个事件,已知P(A)=PB=P(C=025P(AB)=0P(AC)=0,P(BC)=0.125,求AB,C至少有 一个发生的概率。 解:由于 ABC CAB故 0≤P(ABC)<P(AB)=0从而P(ABC)=0 于是所求的概率为 P(AU BUC)=P(A)+ P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+ P(ABC 5 第9页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 9 页 @kaiziliu 性质 5：P（φ）=0 证：在性质 4 中，令 A=Ω，便有 P（φ）=P（ ）=1-P（Ω）=1-1=0 性质 6 （加法公式）对任意事件 A，B，有 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB） 证：由于 A∪B=A∪（B-AB）且 A∩（B-AB）=φ（见图） 由概率的可加性及性质 1 便得 P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB） =P（A）+P（B）-P（AB） 推广: P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） 例 6 设 10 个产品中有 3 个是次品，今从中任取 3 个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。 解：令 C={取出产品中至少有一个是次品}，则 ={取出产品中皆为正品}，于是由性质 4 得 例 7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为 0.4 和 0.35，而同时下雨的概率为 0.15，问在此季节 内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。 解：令 A={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按题意所要求的是 P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6 例 8．设 A,B,C 为三个事件，已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求 A,B,C 至少有 一个发生的概率。 于是所求的概率为
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 三条件概率 §1条件概率的概念及计算 在已知件B发生条件下,事件A发生的概率称为事件A的条件概率,记为P(AB)。条件概率P(AB) 与无条件概率P(A)通常是不相等的。 例1:某一工厂有职工500人,男女各一半,男女职工中非熟练工人分别为40人和10人,即该工厂职 工人员结构如下: 人数 男女总和 非熟练工人 01050 其他职工 10240450 总和 250250500 现从该厂中任选一职工,令A={选出的职工为非熟练工人},B={选出的职工为女职工} 显然,P(4)-50,(B)=230,P(AB)-10:而 500P(43) P(AB) 25025%P(B) P(A 定义1设A、B为两事件,如果P(B),则称F4-AB “P()为在事件B发生的条件下,事件A 医什同样如果P(A)>0,则称F(4 PLAB 4)为在事件A发生条件下,事件B的件概司 条件概率的计算通常有两种办法 (1)由条件概率的含义计算(通常适用于古典概型),(2)由条件概率的定义计算 例2:一盒子内有10只晶体管,其中4只是坏的,6只是好的,从中无放回地取二次晶管,每次取一只, 当发现第一次取得的是好的晶体管时,向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少? 解:令A={第一次取的是好的晶体管},B={第二次取的是好的晶体管} 按条件概率的含义立即可得: akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 10 页 @kaiziliu 三 条件概率 §1 条件概率的概念及计算 在已知事件 B 发生条件下，事件 A 发生的概率称为事件 A 的条件概率，记为 P（A/B）。条件概率 P（A/B） 与无条件概率 P（A）通常是不相等的。 例 1：某一工厂有职工 500 人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为 40 人和 10 人，即该工厂职 工人员结构如下： 人数 男 女 总和 非熟练工人 40 10 50 其他职工 210 240 450 总和 250 250 500 现从该厂中任选一职工，令 A= {选出的职工为非熟练工人}，B= {选出的职工为女职工} 显然， ；而 ， 定义 1 设 A、B 为两事件，如果 P（B）>0，则称 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 的条件概率。同样,如果 P（A）>0，则称 为在事件 A 发生条件下，事件 B 的条件概率。 条件概率的计算通常有两种办法： (1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型）， (2)由条件概率的定义计算。 例 2：一盒子内有 10 只晶体管，其中 4 只是坏的，6 只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只， 当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？ 解： 令 A={第一次取的是好的晶体管}，B={第二次取的是好的晶体管} 按条件概率的含义立即可得： 按条件概率的定义需先计算： ；于是