概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试:(1)试验可在相同条件下重复进行:(2)试验的 可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简 称为试验,并常记为E 例如:E1:掷一骰子,观察出现的总数;E2:上抛硬币两次,观察正反面出现的情况 E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件:在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A,B,C 例如,在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件 3、必然事件与不可能事件:每次试验必发生的事情称必然事,记为Q。每次试验都不可能发生的 事情称不可能事,记为中。 例如,在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事 件以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事旧 基本事件:试验中直接观察到的最简单的结果称为本事佣 例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,………,“掷出6点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事伊,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件 5、样本空间:从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为e 例如,在E1中,用数字1,2,……,6表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6} 便是E1中的基本事件。在E2中,用H表示正面,T表示反面,此试验的样本点有(H,H),(H,T), (T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然,任何 事件均为某些样本点构成的集合 例如,在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本 空间。记为Ω 例如, 在E1中,9={1,2,3,4,5,6} 在E2中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} 在E3中,9={0,1,2,……} 第1页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 1 页 @kaiziliu 概率论基础知识 第一章 随机事件及其概率 一 随机事件 §1 几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的 可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简 称为试验，并常记为 E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C…… 例如，在 E1 中，A 表示“掷出 2 点”，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的 事情称为不可能事件，记为Φ。 例如，在 E1 中，“掷出不大于 6 点”的事件便是必然事件，而“掷出大于 6 点”的事件便是不可能事 件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。 4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。 例如，在 E1 中，“掷出 1 点”，“掷出 2 点”，……，“掷出 6 点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在 E1 中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为 e. 例如，在 E1 中，用数字 1，2，……，6 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6} 便是 E1 中的基本事件。在 E2 中，用 H 表示正面，T 表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T）， （T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何 事件均为某些样本点构成的集合。 例如， 在 E1 中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本 空间。记为Ω。 例如， 在 E1 中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在 E2 中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在 E3 中，Ω={0，1，2，……}
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例1,一条新建铁路共10个车站,从它们所有车票中任取一张,观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为N。=P210=90(排列:和顺序有关,如北京至天津、天津至北京) 若观察的是取得车票的票价,则该试验样本空间中所有样本点的个数为M =45 (组合) 例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去,观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所 有样本点的个数为 102或者x。“56第一种方法用组合乘法原理:第二种方法用排列 15 §2事件间的关系与运算 包含:“若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为ACB或BA Q 例如,在E1中,令A表示“掷出2点”的事件,即A={2} B表示“掷出偶数”的事件,即B={2,4,6}则AcB ACB 2、相等:若ACB且BCA,则称事件A等于事件B,记为A=B 例如,从一付52张的扑克牌中任取4张,令A表示“取得到少有3张红桃” 的事件;B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B 3、和:称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和,记为A∪B,或A+B 例如,甲,乙两人向目标射击,令A表示“甲击中目标”的事件,B表示“乙 击中目标”的事件,则AUB表示“目标被击中”的事件。 推广 A UB UA=4UAU…UA={42,A…A至少有一个发生 有限个 UA=AUA2U…….-(4,42…至少有一个发生) 无穷可列个 4、积:称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件,简称为积,记为A∩B或AB 例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼唤},B={接到 奇数次呼唤},则A∩B={接到6的倍数次呼唤} 第2页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 2 页 @kaiziliu 例 1，一条新建铁路共 10 个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为 NΩ=P 2 10=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京） 若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合) 例 2．随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，观察 15 名新生分配的情况。此试验的样本空间所 有样本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列 §2 事件间的关系与运算 1、包含:“若事件 A 的发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 A B 或 B A。 例如，在 E1 中，令 A 表示“掷出 2 点”的事件，即 A={2} B 表示“掷出偶数”的事件，即 B={2，4， 6}则 2、相等：若 A B 且 B A，则称事件 A 等于事件 B，记为 A=B 例如，从一付 52 张的扑克牌中任取 4 张，令 A 表示“取得到少有 3 张红桃” 的事件；B 表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然 A=B 3、和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件简称为和，记为 A B，或 A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示“甲击中目标”的事件，B 表示“乙 击中目标”的事件，则 AUB 表示“目标被击中”的事件。 推广： 有限个 无穷可列个 4、积：称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A B 或 AB。 例如，在 E3 中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 A={接到偶数次呼唤}，B={接到 奇数次呼唤}，则 A B={接到 6 的倍数次呼唤}
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) Q 14=A142…4-{41,42……,4同时发生)任意有限个 1=A42…-1{4,A2l同时发生 无穷可列个 5、差:称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B 例如,测量晶体管的β参数值,令A={测得β值不超过50},B={测得β值 不超过100},则,A-B=φ,B-A={测得β值为50<B≤100} 6、互不相容:若事件A与事件B不能同时发生,即AB=中,则称A与B是互不相容的 例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若A={红灯亮},B={绿灯亮 则A与B便是互不相容的。 7、对立:称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为A显然A∪A=,A∩=中 例如,从有3个次品,7个正品的10个产品中任取3个,若令A={取得的 个产品中至少有一个次品},则={取得的3个产品均为正品}。 §3事件的运算规律 1、交换律AUB=BUA:A∩B=B∩A 2、结合律(AUB)UC=AU(BUC):(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3、分配律A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C),AU(B∩C)=(A∪B)∩(AUC) 4、对偶律AUB=A∩B,A∩B=A∪B, 此外,还有一些常用性质,如 AUB2A,AUB→B(越求和越大):A∩BCA,A∩BCB(越求积越小) 若ACB,则AUB=B,A∩B=AAB=A-AB=AB等等。 第3页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 3 页 @kaiziliu 推广： 任意有限个 无穷可列个 5、差：称事件 A 发生但事件 B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为 A-B。 例如，测量晶体管的β参数值，令 A={测得β值不超过 50}，B=｛测得β值 不超过 100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为 50﹤β≤100｝ 6、互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=φ，则称 A 与 B 是互不相容的。 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若 A={红灯亮}，B={绿灯亮}， 则 A 与 B 便是互不相容的。 7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ 例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令 A={取得的 3 个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的 3 个产品均为正品}。 §3 事件的运算规律 1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A 2、结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C） 3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C） 4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如 A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。 若 A B，则 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例3,从一批产品中每次取一件进行检验,令A={第i次取得合格品},F=1,23,试用事件的运算符号表示 下列事件。A={三次都取得合格品}B={三次中至少有一次取得合格品}C=【三次中恰有两次取得合 格品}D={三次中最多有一次取得合格品 解:A=A1A2A3B=A1UA2UA3C=A1A2A∪AAA3UAA2A2D=A1A∪A1A2UA2A2 表示方法常常不唯一,如事件B又可表为 B=A1A2A3UAA243∪A1A2A3UAA2A3∪AA2A3∪AA2A2UA1A2A3或B=A1A2A3 例4,一名射手连续向某一目标射击三次,令A产{第i次射击击中目标},=1,2,3,试用文字叙述下列事 件:A1∪A2,A2,A1UA2UA2,A1A243,A2-A2,A1UA2,A∪A2 解:4UA2={前两次射击中至少有一次击中目标=(第二次射击未击中目标 AUAUA-{次射击至少有一次击中目标AAA={三次射击都击中目标 A3A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} 4U4=前两次均未击中目标法A4UA2=A4) UA=前两次射击至少有一次未击中目标 例5,下图所示的电路中,以A表示“信号灯亮”这一事件,以B,C,D分别表示继电器接点,I,Ⅱ, Ⅲ,闭合,试写出事件A,B,C,D之间的关系。 解,不难看出有如下一些关系: BC CABD A BC UBD=A BA=中等 事件的概率 §1概率的定义 所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量,记为P(A)。规定P(A)≥0,P(9)=1。 1、古典概型中概率的定义 與褫型:满足卜列两条件的试验模型称为古典概型。 (1)所有基本事件是有限个;(2)各基本事件发生的可能性相同 例如:掷一匀称的骰子,令A={掷出2点}={2},B={掷出偶数总}={2,4,6}。此试验样本空间为 Q={1,2,3,4,5,6;,于是,应有1=P(Q)-P(A,即P(A= 3B含的基本事件数 而P(B)=3P(A)=-= 基本事件总数 第4页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 4 页 @kaiziliu 例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示 下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合 格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝ 解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为 或 例 4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第 i 次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事 件： 解： A1A2A3={三次射击都击中目标} A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} 例 5，下图所示的电路中，以 A 表示“信号灯亮”这一事件，以 B,C,D 分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，闭合，试写出事件 A,B,C,D 之间的关系。 解，不难看出有如下一些关系： 二 事件的概率 §1 概率的定义 所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P（A）。规定 P(A)≥0，P（Ω）=1。 1、古典概型中概率的定义 古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。 （1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同； 例如：掷一匀称的骰子，令 A={掷出 2 点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为 Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有 1=P（Ω）=6P（A），即 P（A）= 。 而 P（B）=3P（A）=
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 定义1:在古典概型中,设其样本空间9所含的样本点总数,即试验的基本事件总数为N而事件A所 含的样本数,即有利于事件A发生的基本事件数为NA,则事件A的概率便定义为: NAA包含基本事件数 P(4)基本事件总数 例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次,求恰有一次正面向上的概率 解:用H表示正面,T表示反面,则该试验的样本空间 9={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}。 可见N=8令A={恰有一次出现正面},则A={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)} 可见,令NA=3故P(4) 例2,(取球问题)袋中有5个白球,3个黑球,分别按下列三种取法在袋中取球 (1)有放回地取球:从袋中取三次球,每次取一个,看后放回袋中,再取下一个球; (2)无放回地取球:从袋中取三次球,每次取一个,看后不再放回袋中,再取下一个球 (3)一次取球:从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球的概率。 解:(1)有放回取球Na=8×8×8=83=512(袋中八个球,不论什么颜色,取到每个球的概率相等) 5×5×3=-522=225 (先从三个球里取两个白球,第一次取白球有五种情况,第二次取 MA225 P(A) 白球还有五种情况<注意是有放回>,第三次取黑球只有三种情况) 512 M。=8×7×6=A3 (2)无放回取球 M4-|25×4×3-1244-180故PC4018,054 8 (3)一次取球M A 0.54 第5页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 5 页 @kaiziliu 定义 1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 NΩ而事件 A 所 含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为： 例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。 解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间 Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。 可见 NΩ=8 令 A={恰有一次出现正面}，则 A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）} 可见，令 NA=3 故 例 2，（取球问题）袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。 （1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球； （2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球； （3）一次取球：从袋中任取 3 个球。在以上三种取法中均求 A={恰好取得 2 个白球}的概率。 解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等) （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取 白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况） （2）无放回取球 故 （3）一次取球 故