§12.1微分方程的基本概念 在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函 数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出 含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就 是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究, 找出未知函数来,这就是解微分方程 本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基 本概念 自
§12.1 微分方程的基本概念 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函 数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出 含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就 是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基 本概念. 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点Mx,y)处的 切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线的方程为y=yx),则 2x 上式两端积分,得 y=2xd,即y=x2+(其中C是任意常数) 因为曲线通过点(1,2),即当x=1时,y=2,所以 2=12+C,C=1 因此,所求曲线方程为y=x2+1. 说明: x=1时,y=2可简记为y1=2 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设所求曲线的方程为y=y(x), 则 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的 切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 下页 x dx dy =2 . 上式两端积分, 得 因为曲线通过点(1, 2), 即当x=1时, y=2, 所以 2=1 2+C, C=1. 因此, 所求曲线方程为y=x 2+1. y= 2xdx, 即 y=x 2 +C(其中 C 是任意常数). y= 2xdx, 即 y=x 2 +C(其中 C 是任意常数). 说明 当x=1时, y=2可简记为y| x=1=2
例2列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列 车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,则 s"=0.4,sl=0=0,s=0=20 把等式=04两端积分一次,得=04C 再积分一次,得S=0.2+C1+C2(C1C2都是任意 由s=20得20=C1,故s'=0.41+20 由sa=0得0=C2,故s=0.2+20. 令s′=0,得1=50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程为 S=0.2×502+20×50=500m) 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列 车获得加速度−0.4m/s2 . 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 下页 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,则 s=−0.4, s| s| t=0=20. t=0=0, 把等式s=−0.4两端积分一次, 得s=−0.4t+C1 , 再积分一次, 得s=−0.2t 2 +C1 t +C2 (C1 , C2都是任意常数). 由s| t=0=20得20=C1 , 由s| t=0=0得0=C2 , 故s=−0.2t 2+20t. 故s=−0.4t +20; s=−0.2502+2050=500(m). 令s=0, 得t=50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程为
今几个基本概念 ●微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的 方程,叫微分方程 ●微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫 微分方程的阶 般n阶微分方程的形式为 F(x,y,y,……,y)=0或yn=fx,y,y,…,yn1) 说明: 阶的三阶的 在例1和例2中,如=2和s"=04都是(常)微分方程 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函 数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 说明 在例 1 和例 2 中, x dx dy =2 和 s =−0.4 都是(常)微分方程. ❖几个基本概念 下页 •微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的 方程, 叫微分方程. •微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫 微分方程的阶. 一般n阶微分方程的形式为 F(x, y, y, , y (n) )=0或 y (n)=f(x, y, y, , y (n−1) ). 一阶的 二阶的
微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解 确切地说,设函数y=0(x)在区间/上有n阶连续导数,如果 在区间Ⅰ上, F[x,(x),(x),…,m)(x)]=0 那么函数y=∞x)就叫做微分方程F(x,y,y,……;,ym)0在区间I 上的解. 说明 在例1中,y=x2+C和y=x2+1都方程迎=2x的解 在例2中,方程s"=-0.4的解有 S=0.22+C1+C2、s=0.2+20+C2和s=0.22+20t. 首贡页返回下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 •微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果 在区间I上, F[x, (x), (x), , (n) (x)]=0, 那么函数y=(x)就叫做微分方程F(x, y, y, , y (n) )=0在区间I 上的解. 在例 1 中, y=x 2 +C 和 y=x 2 +1 都方程 x dx dy =2 的解. 在例2中, 方程 s=−0.4的解有 s=−0.2t 2+C1 t+C2、s=−0.2t 2+20t+C2和s=−0.2t 2+20t. 下页