《概率论基础知识》学习笔记

概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 四独立性 §1事件的独立性 如果事件B的发生不影响事件A的辗率,即A(4)=F(AP(B)>0)则称事件A对事件B独立 如果事件A的发生不影响事件B的概率即PA-P(B),(P(A)>0)则称事件B对事件A独立 不难证明,当P(A)>0,P(B)〉0时,上述两个式子是等价的。 事实上,如果()-P),则有FAB)=PB)P(AP() 反之,如果P(A8)=P(A)PB),则有4A)=P(AB)=P(4)<8P(A P(B ep P(A/B)=P(A)+P(AB)=P(A(B) 同样可证PA=P(8)兮PAB)=F(AP(B) 可见事件独立性是相互的。 P(AB=(A)+P(AB)=P(A)P(B)+P(BA)-P(B) 定义1 设AB为两个事件,如果 F(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立 例1,袋中有3个白球2个黑球,现从袋中(1)有放回;(2)无放回的取两次球,每次取一球,令 A={第一次取出的是白球}B={第二次取出的是白球}问A,B是否独立? 解(1)有放回取球情况,则有(4)-%,P)-3P(A)-3 可见,P(AB)=P(A)P(B),可见A,B独立 2无放回取球情况,则有小为,(8y%3(48)-3×2.3 可见,P(AB)≠P(A)P(B),故A,B不独立。(实际上就是抓阄模型) akaiziliu

概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 16 页 @kaiziliu 四 独立性 §1 事件的独立性 如果事件 B 的发生不影响事件 A 的概率，即 则称事件 A 对事件 B 独立。 如果事件 A 的发生不影响事件 B 的概率，即 ， 则称事件 B 对事件 A 独立。 不难证明，当 时，上述两个式子是等价的。 事实上，如果 ，则有 反之，如果 ，则有 即 同样可证 总之 ， 可见事件独立性是相互的。 定 义 1 设 A，B 为两个事件，如果 ，则称事件 A 与事件 B 相互独立。 例 1,袋中有 3 个白球 2 个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令 A={第一次取出的是白球} B={第二次取出的是白球} 问 A，B 是否独立？ 解：（1）有放回取球情况，则有 可见， ，可见 A，B 独立。 （2）无放回取球情况，则有 可见， ，故 A，B 不独立。（实际上就是抓阄模型） 2*3

概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例2,设有两元件,按串联和并联方式构成两个系统I,Ⅲ(见图)每个元件的可靠性(即元件正常工作的 概率)为r(0<r<1)假定两元件工作彼此独立求两系统的可靠性 解:令A={元件a正常工作},B={元件b正常工作},且A,B独 立。Cl={系统Ⅰ正常工作},C2=(系统II正常工作} 系统1 于是系统I的可靠性为P(C1)=P(AB)=P(4)P(B)=r2 系统II的可靠性为P(C2)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 系统‖ P4)+P(B)-P(A)P(B)=2r-r2 显然P(C2)=2-r2>2r2-r2=r2=P(C1)(0<r<1),系统Ⅱ可靠性大于系统I的可靠性。 定义:设A,B,c为三个事件,如果P(AB)中(A)P(B),P(A0)→(A)P(0), P(B0)甲P(B)P(),P(ABC)(A)P(B)P(0)则称A,B,c为相互独立的。 定义2:设A,A,……A为n个寡件,如果对任意正整数k(k≤x)及上述事件中的任意 k个事件A,A4…A有P(44…41)-F(4)2(41)…P(A1则称这n个事件A,知…,A是相 互独立的。 下面几个匿论是常用的 1)A,B独立、A融立、AB独立AB立四个命题有一个成立其它三个必成立。 证:设A,B成立,即P(AB)=P(AP(B) 于是有P(AB)=P(A-AB)=P(4-P(AB)=P(A-P(AF(B)=P(41-P(B)=P(AFB) 故AE独立。利用这个结果便可证明其它结论,即独立→A独立→AB独立→AB独立 (2)如果443…4相互独立,则Fn4P(4) (3)如果442…4相互独立,则中∪4 0) 第17页 akaiziliu

概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 17 页 @kaiziliu 例 2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统Ⅰ，Ⅱ（见图）每个元件的可靠性(即元件正常工作的 概率)为 r(0<r<1).假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性. 解: 令 A= {元件 a 正常工作} , B= { 元件 b 正常工作} ,且 A,B 独 立。C1= {系统 I 正常工作 }, C2={系统 II 正常工作} 于是系统 I 的可靠性为 系 统 II 的 可 靠 性 为 显然 ，系统Ⅱ可靠性大于系统Ⅰ的可靠性。 定义：设 A，B，C 为三个事件，如果 P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C）， P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 则称 A，B，C 为相互独立的。 定义 2：设 A1 ，A2 ，……An 为 n 个事件，如果对任意正整数 及上述事件中的任意 P 则称这 n 个事件 A1，A2……，An 是相 互独立的。 下面几个结论是常用的 ： 其它三个必成立。 证：设 A，B 成立，即 ， 于是有 故 独立。利用这个结果便可证明其它结论，即 （2）如果 相互独立，则 (3) 如果 相互独立，则

概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 仙小但小自 例3:三人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为111 534求密码能被译出的概率 解:令A={第i个人能译出密码},l=1,2,3;A={密码能被译出},所要求的概率为 P(A)-P(A4U4)=1-P{4(A2)P(A)=142306 例4:设每支步枪击中飞机的概率为P=0.004,(1)现有250支步枪同时射击,求飞机被击中的概率; (2)若要以99%概率击中飞机,问需多少支步枪同时射击? 解:令A={第i支步枪击中飞机}x=1,2……,n:A={飞机被击中} 对问题(1),nm250所要求的概率为F(4)=P(A∪A∪…42)=1-P(p()…F(4 1-(-2)20=1-099620~063 对问题(2,n为所需的步数,按题意P()=1-(1-P)=099 1-P)=001,即0.9962=0.0 n0.01 于是得n n0.996 §2独立重复试验 独立重复试验在相同条件下,将某试验重复进行n次,且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试 验结果的影响,此种试验称为n次独立重复试验。 四努里实验 如果实验只有两个可能结果AA且P(小)=P(0<P(1称此试验贝努里试验 重贝努里试验将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。 例如 (1)将一骰子掷10次观察出现6点的次数—-10重贝努里试验 (2)在装有8个正品,2个次品的箱子中,有放回地取5次产品,每次取一个,观察取得次品的次数 5重贝努里试验 (3)向目标独立地射击n次,每次击中目标的概率为P,观察击中目标的次数—n重贝努里试验等等 akaiziliu

概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 18 页 @kaiziliu 证： 例 3：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 求密码能被译出的概率 解：令 Ai＝｛第 个人能译出密码｝，I=1,2,3 ；A={密码能被译出}，所要求的概率为 例 4：设每支步枪击中飞机的概率为 ，(1)现有 250 支步枪同时射击，求飞机被击中的概率; (2)若要以 概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？ 解： 令 Ai=｛第 i 支步枪击中飞机｝ 1,2,……,n；A={飞机被击中} 对问题（1），n=250,所要求的概率为 对问题（2），n 为所需的步数，按题意 , 即 , 即 于是得 §2 独立重复试验 独立重复试验 在相同条件下，将某试验重复进行 n 次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试 验结果的影响，此种试验称为 n 次独立重复试验。 称此试验为贝努里试验 n 重贝努里试验 将贝努里试验独立重得 n 次所构成 n 次独立重得试验称为 n 重贝努里试验。 例如， （1）将一骰子掷 10 次观察出现 6 点的次数——10 重贝努里试验 （2）在装有 8 个正品，2 个次品的箱子中，有放回地取 5 次产品，每次取一个，观察取得次品的次数 ——5 重贝努里试验 （3）向目标独立地射击 n 次，每次击中目标的概率为 P，观察击中目标的次数—n 重贝努里试验等等

概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 个重要的结果:在n重贝努里实验中,假定每次实验事件A出现的概率为p(0×p<1),则在这n重贝 努里实验中事件A恰好出现k(kn)次的概率为2)=(k)Pqx,k=0,1,2,…,n其中q=1p 事实上,令A=(第次试验A出现,而A=第次试验A不出现},=1,2…,n 因此,在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次的事件便可表为 A1A2… Ak Ara+2…A∪A1A2…Ak-1A4A4…A2U… 上式为在n次试验中恰有k次A出现,而在 ∪A1A2…A2 另外n-k次A不出现的所有可能事件之和,这 这些事件共有”个,且他们是两两互不相容的。于是由概率的可加性及事件的独立性便可 得到在n重贝努里试验中事件A恰好出现k次的概率为 (k)=P(A4A2…AA+1Ak+2…A2∪A1A2…A1A2A1…A2U ∪A142…A242x+…A) p2q2+p3q2k+…+pq 例5:设电灯泡的耐用时数在000小时以上的概率为0.2求三个灯泡在使用了1000小时之后:(1)恰 有一个灯泡损坏的概率;(2)至多有一个灯泡损坏的概率 解:在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验。令A={灯泡是坏的},则p=P(A)=0.8 若令B=(有1个灯泡损坏},=0,123:对于问题(1),所求的概率为F(2)=B3()-=(,081022=0096 F(B0UB1)=F(B0)+P(B1)=(0)+B() 对于问题(2),所求的概率为 (02)+()081:022=0008+0096=0104 例6:某工厂生产某种产品,其次品率为001,该厂以每10个产品为一包出售,并保证若包内多于 个次品便可退货,问卖出的产品与被退的比例多大 解:卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率,观测一包内次品(即事件A, p=P(A)=001)数的实验可视为10重贝努里实验。令B1=(包内有个次品),=012,…,10则 P(2)-(3)007090:-012…10令c=(卖出一包被退回},则 P(C)=1-p()=1-P(30U)=1-P(0)-F(B)=1-099-:0099004 如果厂方以20个产品为一包出售,并保证包内多于2个次品便可退货,情况又将如何呢? 完全类似可算得P(C)=1-(0993-(3)001(099-(20)0012(09938-0001 akaiziliu

概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 19 页 @kaiziliu 一个重要的结果：在 n 重贝努里实验中，假定每次实验事件 A 出现的概率为 p（0<p<1）,则在这 n 重贝 努里实验中事件 A 恰好出现 k(k≦n)次的概率为 其中 q=1-p 因此，在 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 好 出 现 k 次 的 事 件 便 可表为 上式为在 n 次试验中恰有 k 次 A 出现，而在 另 外 n-k 次 A 不 出 现 的 所 有 可 能 事 件 之 和 ， 这 及事件的独立性便可 得到在 n 重贝努里试验中事件 A 恰好出现 k 次的概率为 例 5：设电灯泡的耐用时数在 1000 小时以上的概率为 0.2,求三个灯泡在使用了 1000 小时之后：（1） 恰 有一个灯泡损坏的概率；（2） 至多有一个灯泡损坏的概率。 解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为 3 重贝努里实验。令 A={灯泡是坏的}，则 p=P(A)=0.8 若令 Bi={有 i 个灯泡损坏}，i=0，1 2 3；对于问题（1），所求的概率为 对于问题（2），所求的概率为 例 6：某工厂生产某种产品，其次品率为 0.01 ，该厂以每 10 个产品为一包出售，并保证若包内多于一 个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大 解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件 A， p=P(A)=0.01）数的实验可视为 10 重贝努里实验。令 则 令 C={卖出一包被退回}，则 如果厂方以 20 个产品为一包出售，并保证包内多于 2 个次品便可退货，情况又将如何呢？ 完全类似可算得

概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 第二章随机变量及其分布函数 随机变量及其分布函数 §1随机变量的概念 为了对各种各样不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件,并能将微积分等数学工具引进概 率论。我们需引入随机变量的概念 随机变量:设试验的样本空间为Ω,在Ω上定义一个单值实函数X=X(a),e∈g对试验的每个结果 e,X=X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的,那X=X(e)的取值也是随机的,我们便 称此定义在样本空间S上的单值实函数X=X(e)为一个随机变量 引进随机变量后,试验中的每个事件便可以通过此随Q 机变量取某个值 或在某范围内取值来表示了。(见图) 通俗讲,随机变量就是依照试验结果而取值的变量。 例1向靶子(见图)射击一次,观察其得分,规定 击中区域Ⅰ得2分 击中区域Ⅱ得1分 Ⅱ 击中区域Ⅲ得0分 样本空间Ω={(I,Ⅱ,Ⅲ}。定义随机变量X表示射击一次的得分 e 于是, x=(a) III A-击中区域-(6x(0-2(x=2 简记 B={靶-{击中区域或击中区域l]-{:x()=2或x()-=1 例2观察某电话交换台,在时间T内接到的呼唤次数。样本空间Ω={0,1,2,……}。可定义随 机变量X就表示在时间T内接到的呼唤次数。于是, A={接到呼唤次数不超过10次}={X≤10 B={接到呼唤次数介于5至10次之间}={5≤X≤10 例3从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命(单位:小时)样本空间9=[0 ∞]。可定义随机变量X表示所测得灯泡的寿命于是, A=(测得灯泡寿命大于500(小时)={X>500} B={测得灯泡寿命不超过5000(小时)}={X≤5000}。 不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。 例4将一枚硬币上抛一次,观察正,反面出现的情况。试验的样本空间9={H,T},H一正面,T 反面。可定义随机变量Ⅹ表示上抛1次硬币正面出现的次数,即 akaiziliu

概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 20 页 @kaiziliu 第二章 随机变量及其分布函数 一 随机变量及其分布函数 §1 随机变量的概念 为了对各种各样不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等数学工具引进概 率论。我们需引入随机变量的概念。 随机变量：设试验的样本空间为 Ω，在 Ω 上定义一个单值实函数 X=X(e),e∈Ω,对试验的每个结果 e,Ｘ＝Ｘ(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那Ｘ＝Ｘ（e）的取值也是随机的，我们便 称此定义在样本空间 上的单值实函数Ｘ＝Ｘ（e）为一个随机变量。 引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随 机变量取某 个值 或在某范围内取值来表示了。（见图） 通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。 例 1 向靶子（见图）射击一次，观察其得分，规定 击中区域Ⅰ得２分 击中区域Ⅱ得１分 击中区域Ⅲ得０分 样本空间Ω＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ｝。定义随机变量 X 表示射击一次的得分 即 于是， 例 2 观察某电话交换台，在时间Ｔ内接到的呼唤次数。 样本空间Ω＝｛０，１，２，……｝。可定义随 机变量Ｘ就表示在时间Ｔ内接到的呼唤次数。于是， Ａ＝｛接到呼唤次数不超过１０次｝＝｛Ｘ≤１０｝ Ｂ＝｛接到呼唤次数介于５至１０次之间｝＝｛５≤Ｘ≤１０｝ ,, 例 3 从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命（单位：小时） 样本空间Ω＝［０， ＋∞］。可定义随机变量Ｘ表示所测得灯泡的寿命于是， Ａ＝｛测得灯泡寿命大于５００（小时）｝＝｛Ｘ>500｝ Ｂ＝｛测得灯泡寿命不超过５０００（小时）｝＝｛Ｘ≤５０００｝。 不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。 例 4 将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。 试验的样本空间Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝，Ｈ－正面，Ｔ －反面。 可定义随机变量Ｘ表示上抛１次硬币正面出现的次数，即