f() 2TiI-b 而又含于0<=b<内的圆-b=可充分小 1 M M 于是由 ds |2i 2兀 n1+1 n 即当n=-1,-2,时Cn=0 由此可不必将函数展开而判断b是否为可去奇点 cOS 2 eg∴:lim lim 1有限) 2→ 0
( ) ( ) ( 1, 2 ,... ) 2 1 1 = - - - = ò + d n b f i C l n n x x x p 而l又含于 0 < z-b < d内的圆 x - b = z可充分小 ( ) ( ) n n l n n M M d b f i C z pz p z x x x p £ × × = - = ò + + 2 2 1 2 1 于是由 1 1 = -1,- 2,... = 0 C n 即当 n 时 由此,可不必将函数展开而判断b是否为可去奇点 1(有限 ) 1 cos lim sin . . lim 0 0 = = ® ® z z z e g z z Q
z=0→可去奇点 ③可去奇点常不作奇点看 f(=)z≠b ∵若令F(z) lim f() 则F(在=b可导,在-b<R中解析 F()=∑C(=-b),2-b<R F(() k!
\ z = 0 ® 可去奇点 ③可去奇点常不作奇点看 ∵若令F(z)= f (z ) z ¹ b f (z ) z b z b = ® lim 则 F (z )在 z = b可导 , 在 z - b < R中解析 ( ) ( ) ( ) ( ) ! , , k F z F z C z b z b R C k k k k = å k - - < = ¥ = -¥
(2)极点 若(=)=∑C(=-b),0<2-b<R m21Cm≠0有限项负幂 则二=b→()的m阶极点阶极点又称为单极点。 e.g.( ∑:2,0<2 z=0→二阶极点 而f(z) z2(=-1)2-1(2-1)+
³ 1, ¹ 0(有限项负幂 ) m C- m f ( )z C (z b ) ,0 z b R, k k = å k - < - < ¥ = -¥ 若 则z=b→f(z)的m阶极点,1阶极点又称为单极点。 ( ) ( ) ,0 1 1 1 1 1 1 1 . . 0 2 2 2 < < - = - - = × - = å ¥ = z z z z z z z e g f z k k ∴z=0→二阶极点 1 ( ) ( ) ( ) = - + × - = - = 1 1 1 1 1 1 1 2 z z z z 而 f z (2).极点
12 (z-1)∑()(=-1 注意:①定义指的是奇点的去心邻域。 如当12>1,()= ∑ 无法用极点定义和可去奇点定义判断它是什么 奇 b为极点的充要条件 lim f()
å [ ( )] å ( ) ( ) ¥ = ¥ = - - - - - = 0 0 1 1 1 1 1 n n n k k z z z 注意： ①定义指的是奇点的去心邻域。 ( ) å ¥ = + = - = × - > = × 0 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1, k k z z z z z 如当 z f z 无法用极点定义和可去奇点定义判断它是什么 奇点。 b为极点的充要条件: ( ) = ¥ ® f z z b lim