§2.2几类特殊点和集—聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集 本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质,予以一般化。 对ⅤEsR",我们可以通过看是否有x的完整邻域含于E中将R"中点x分 为三类: a.丑U(x,)满足U(x,)E b.VU(x,)满足U(x,6)∩E≠Φ,U(x,)∩CE≠Φ c.彐U(x,δ)满足U(x,δ)CE 定义2.2.1我们称a类点为E的内点,记其全体为E;b类点为E的边 界点,记其全体为OE;c类点为E的外点 显然外点全体为(CE)°,R"=E"UOEU(CE)° (图2.2.1) 如图2.2.1所示:M是E的内点,M2、M3、M4、M5是E的边界点,M6是E 的外点。 注2.2.1:E的边界点既有可能属于E(如M2、M3、M5),又有可能不属于 E(如M4)
§２.２ 几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集 本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。 对∀ E⊆ R n ，我们可以通过看是否有 x 的完整邻域含于 E 中将 R n 中点 x 分 为三类： ∃ ⊆ ∀ ∩ ≠ Φ ∩ ≠ Φ ∃ ⊆ c U x U x CE b U x U x E U x CE a U x U x E . ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) , ( , ) . ( , ) ( , ) δ δ δ δ δ δ δ 满足 满足 满足 定义２.２.１ 我们称 a 类点为 E 的内点，记其全体为 E 0 ；b 类点为 E 的边 界点，记其全体为∂ E；c 类点为 E 的外点。 显然外点全体为(CE) 0 ，R n ＝E 0 ∪∂ E∪(CE) 0 （图２.２.１） 如图２.２.１所示：M1是 E 的内点，M 2 、M 3、M 4 、M 5是 E 的边界点，M 6是 E 的外点。 注２.２.１：E 的边界点既有可能属于 E(如 M 2 、M 3、M 5 )，又有可能不属于 E(如 M 4 )
注2.2.2:E的边界与CE的边界相同,即OE=O(CE) 注2.2.3:不受“[a,b]的边界只有a,b两点”这个具体结论的直观约 束而得出错误的一般结论:“E的边界OE相对集合E而言只是很少一部分” 事实上,直线上的有理数全体的边界是整个实数集 对EsR",我们也可以通过看x的邻域含E中点的多少将R"中点x分 为三类: e.对vd>0,U(x,)∩E-{x}≠Φ f.丑U(x,6)满足U(x,d6)∩E={x} g3U(x,)满足U(x,)∩E=④(显然此类点即外点) 定义2.2.2我们称e类点为E的聚点(或极限点),记其全体为E’,并 称为E的导集;f类点为E的孤立点,显然其全体为E-E 即R"=EU(E-E)U(CE) 在图2.2.1中,M、M2、M3、M4是E的极限点,M是E的孤立点 按第一种分类法的内点,是第二种分类法的聚点,按第一种分类法的边界点, 按第二种分类法既有可能是聚点如M2、M3、M4,又有可能是孤立点如Ms。同样 按第二种分类法的孤立点,是第一种分类法的边界点,按第二种分类法的聚点 按第一种分类法既有可能是内点M,又有可能是边界点M2、M3、M4。对外点而 言,两类分类方法所指的概念是完全一致的。 “极限点”中的“极限”二字体现在何处,“聚点”中的“聚”字体现在哪 里呢?下述两个定理将对此作出解释 定理2.2.9:x∈E<=〉3互异点列xn∈E,xn≠x,且xn→x(n→+∞) 证明 >”因为x∈E,所以对8n=m、d(x,xm-)},存在 xn∈U(x,δn)∩E-{x},显然x"∈E互异,x"≠x,且x"→x(n→+∞)
注２.２.２：E 的边界与 CE 的边界相同，即∂ E＝∂ (CE) 注２.２.３：不受“[a,b]的边界只有 a,b 两点 ”这个具体结论的直观约 束而得出错误的一般结论：“E 的边界∂ E 相对集合 E 而言只是很少一部分”。 事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。 对∀ E ⊆ R n ，我们也可以通过看 x 的邻域含 E 中点的多少将 R n 中点 x 分 为三类： ∃ ∩ = Φ ∃ ∩ = ∀ > ∩ − ≠ Φ . ( , ) ( , ) ( ) . ( , ) ( , ) { } . 0, ( , ) { } 满足 显然此类点即外点 满足 对 g U x U x E f U x U x E x e U x E x δ δ δ δ δ δ 定义２.２.２ 我们称 e 类点为 E 的聚点(或极限点)，记其全体为 E'，并 称为 E 的导集；f 类点为 E 的孤立点，显然其全体为 E-E'。 即 R n ＝E'∪(E- E')∪(CE) 0 在图２.２.１中，M1、M 2 、M 3、M 4 是 E 的极限点，M 5是 E 的孤立点。 按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边界点， 按第二种分类法既有可能是聚点如 M 2 、M 3、M 4 ，又有可能是孤立点如 M 5。同样 按第二种分类法的孤立点，是第一种分类法的边界点，按第二种分类法的聚点， 按第一种分类法既有可能是内点 M1，又有可能是边界点 M 2 、M 3、M 4 。对外点而 言，两类分类方法所指的概念是完全一致的。 “极限点”中的“极限”二字体现在何处，“聚点”中的“聚”字体现在哪 里呢？下述两个定理将对此作出解释。 定理２.２.９： x∈E'<＝>ョ互异点列 x n ∈E，x n ≠x，且 x n →x(n→＋∞) 证明 “＝>”因为 x∈E'，所以对 δn ＝min{ n 1 ,d(x,x n−1 )}，存在 x n ∈U(x,δn ）∩E－{x}，显然 x n ∈E 互异，x n ≠x，且 x n →x(n→＋∞)
“<=”若3x"∈E,且x"≠x,但x"→x(n→+∞),则对任意δ>0,存在 N,当n>N时,x"∈U(x,6)∩E-{x},故x∈E 证毕 即之所以称x为E的“极限点”的原因是:x可以表成E中一串异于x的点 列x"的极限。 定理2.2.10:x∈E<=>6>0,U(x,6)∩E为无限集 证明“<=”显然 ”因为x∈E',所以彐xn∈E,且xn≠x,但xn→x(n→+∞),则对任 意δ>0,存在N,当n>N时,xn∈U(x,6)∩E-{x},故U(x,6)∩E为无限 集。证毕 即之所以称x为E的“聚点”的原因是:在x的任意一个小邻域内都“聚 集”着E的无限多个点。 定义2.2.3若对Vδ>0,U(x,6)∩E≠中,则称x为E的接触点。接 触点全体记为E,并称E为E的闭包。 显然,E=EUOE=EU{x|x为E的孤立点}=EUOE=EUE=EUaE 在数学分析中要看一个区间是开或闭,只须看它是否将作为边界的两个端点 包含在内,对于R"中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依据, 于是我们给出如下定义 定义2.2.4若OE∩E=φ,则称E为开集:若OE≌E,则称E为闭集。 例2.2.1:直线上的开区间,平面上的开圆盘皆为开集,直线上的闭区间, 平面上的闭圆盘皆为闭集。(a,b]既不是开集,又不是闭集。全直线既是开集又 是闭集
“<＝”若ョ x n ∈E，且 x n ≠x，但 x n →x(n→＋∞)，则对任意 δ>0，存在 N，当 n＞N 时，x n ∈U(x,δ)∩E－{x}，故 x∈E'。 证毕 即之所以称x为E 的“极限点”的原因是：x 可以表成 E 中一串异于 x 的点 列 x n 的极限。 定理２.２.１０： x∈E'<＝>∀ δ＞0，U(x,δ)∩E 为无限集。 证明 “<＝”显然。 “＝>”因为 x∈E'，所以ョ x n ∈E，且 x n ≠x，但 x n →x(n→＋∞)，则对任 意 δ＞0，存在 N，当 n＞N 时，x n ∈U(x,δ)∩E－{x}，故 U(x,δ)∩E 为无限 集。证毕 即之所以称x为E 的“聚点”的原因是：在 x 的任意一个小邻域内都“聚 集”着 E 的无限多个点。 定义２.２.３ 若对∀ δ＞0，U(x,δ)∩E≠ф，则称x为E 的接触点。接 触点全体记为 _ E ，并称 _ E 为 E 的闭包。 显然， _ E ＝E 0 ∪∂ E＝E'∪｛x｜x 为 E 的孤立点｝＝E'∪∂ E ＝E'∪E＝E∪∂ E ＝c(cE) 0 在数学分析中要看一个区间是开或闭，只须看它是否将作为边界的两个端点 包含在内，对于 R n 中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依据， 于是我们给出如下定义。 定义２.２.４ 若∂ E∩E＝φ，则称 E 为开集；若∂ E⊆ E，则称 E 为闭集。 例２.２.１：直线上的开区间，平面上的开圆盘皆为开集，直线上的闭区间， 平面上的闭圆盘皆为闭集。(a,b]既不是开集，又不是闭集。全直线既是开集又 是闭集
定理2.2.11)E为开集<=>EE 2)E为闭集<=>E’sE 证明1)“=>”因为E开,所以∂E∩E=φ,故EE° “<=”因为EE°,所以∂E∩E=φ,故E为开集 2)“=〉”因为E为闭集,所以OE三E,而 E'CaEUES≤E,从而E'sE “<=”若E≤E,则∂EsE'U{x|x为E的孤立点}三E,故E是闭集 定理2.2.2对VEsR",E为开集。 证明对Vx∈E,彐6>0,U(x,6)cE,对Vy∈U(x,δ),彐δ1=8 d(x,y)>0,对z∈U(y,δ1),d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)<6,即Z∈U(x,6) ≤E,即y∈E°,从而U(x,δ)sE°,即E"s(E◇)°,故E"是开集。 定理2.2.3:(开集与闭集的对偶性)1)若E为开集,则CE为闭集;2) 若E为闭集,则CE为开集。 证明1)因为E是开集,所以E∩E=中,则E= aCE CCE,故CE是闭集。 2)因为E是闭集,所以OE三E,而OE=OCE,CE∩OCE=中,故CE是开 集。证毕 定理2.2 1)R"、φ是开集 2)任意有限个开集之交是开集 3)任意多个开集之并是开集 证明:1)、3)显然
定理２.２.１ 1) E 为开集<＝>E⊆ E 0 2) E 为闭集<＝>E'⊆ E 证明 1)“＝>”因为 E 开，所以∂ E∩E＝φ，故 E⊆ E 0 “<＝”因为 E⊆ E 0 ，所以∂ E∩E＝φ，故 E 为开集。 2) “＝>”因为 E 为闭集，所以∂ E ⊆ E，而 E'⊆ ∂ E∪E⊆ E,从而 E'⊆ E ; “<＝”若 E'⊆ E，则∂ E ⊆ E'∪｛x｜x 为 E 的孤立点｝⊆ E，故 E 是闭集。 定理２.２.２ 对∀ E⊆ R n ，E 0 为开集。 证明 对∀ x∈E 0 ，ョ δ＞0，U(x,δ)⊂ E，对∀ y∈U(x,δ)，ョ δ1＝δ －d(x,y)＞0，对∀ z∈U(y,δ1 )，d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)＜δ，即 Z ∈U(x,δ) ⊆ E，即 y∈E 0 ，从而 U(x,δ) ⊆ E 0 ，即 E 0 ⊆ (E 0 ) 0 ，故 E 0 是开集。 定理２.２.３：(开集与闭集的对偶性) 1)若 E 为开集，则 CE 为闭集；2) 若 E 为闭集，则 CE 为开集。 证明 1) 因为 E 是开集，所以∂ E∩E＝ф，则∂ E＝∂ CE ⊆ CE，故 CE 是闭集。 2) 因为 E 是闭集，所以∂ E ⊆ E，而∂ E＝∂ CE，CE∩∂ CE＝ф，故 CE 是开 集。 证毕 定理２.２.４ 1)R n 、φ 是开集 2)任意有限个开集之交是开集 3)任意多个开集之并是开集 证明：1)、3)显然
2)设E为开集(i=1,2,3,,n),对任意x∈∩E,则x为每一个E的内 点,即存在8:满足Ux,6)三E,令8=8,则Ux,6)三∩E, 即x为∩E的内点,故∩E为开集。若∩E=中,则∩E也是开集。证 注2.2.4:不仅R"中开集具有以上三性质,一般距离空间也有此性质, 在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。 定理2.2.5:1)R"、φ是闭集 2)任意有限个闭集之并是闭集 3)任意多个闭集之交是闭集 证明:1)显然 2)要证UE是闭集,只须证CUE是开集,而E=∩ 因为E是闭集,所以由定理2.2.3知cE是开集,∩cE是开集,故∪E 是闭集。 3)同理可证。证毕 因为E、(CE)开,所以E=CEU(CE)闭集。 定理2.2.6:对任意集合E,E是闭集。 证明:由E=C[(CE)即得。 定理2.2.7:E为闭集<=E=E
2)设 E i 为开集(i=1,2,3,...,n)，对任意 x∈I n i=1 E i ，则 x 为每一个 E i 的内 点，即存在 δi 满足 U(x,δi )⊆ E i ，令 δ＝ 1≤i≤n min δi ，则 U(x,δ) ⊆ I n i=1 E i ， 即x为I n i=1 E i 的内点，故I n i=1 E i 为开集。若I n i=1 E i ＝ф，则I n i=1 E i 也是开集。证 毕 注２.２.４：不仅 R n 中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质， 在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。 定理２.２.５： 1) R n 、φ 是闭集 2) 任意有限个闭集之并是闭集 3) 任意多个闭集之交是闭集 证明： 1) 显然 2)要证U n i=1 E i 是闭集，只须证 CU n i=1 E i 是开集，而 cU n i=1 E i ＝I n i=1 cE i , 因为 E i 是闭集，所以由定理２.２.３知 cE i 是开集， I n i=1 cE i 是开集，故U n i=1 E i 是闭集。 3)同理可证。证毕 因为 E 0 、(CE) 0 开，所以∂ E＝C[E 0 ∪(CE) 0 ]闭集。 定理２.２.６： 对任意集合 E， _ E 是闭集。 证明：由 _ E ＝C[(CE) 0 ]即得。 定理２.２.７：E 为闭集<＝>E＝ _ E