52微积分基本定理 我们知道,原函数和定积分是从不同的角度引出的 两个不同的概念,那么它们之间有没有联系呢?本节就 是解决这一问题的 首先分析下面一个熟知的问题 本章第一节中已知,变速直线运动物体的速度函数为 U(其在时间区间[a,B上通过的路程为
5.2 微积分基本定理 我们知道，原函数和定积分是从不同的角度引出的 两个不同的概念，那么它们之间有没有联系呢?本节就 是解决这一问题的. 首先分析下面一个熟知的问题: 本章第一节中已知,变速直线运动物体的速度函数为 (t), 其在时间区间 [,] 上通过的路程为
s=v(tdi 如果又知该变速直线运动物体的路程函数为S=S(t)2 则其在时间区间[a,BJ上通过的路程为 S(B)-(a) 从而可得这两者应相等即 u(t)dt=s(B)-s(a) a 我们又知,S(O)=D(D),即S()是U()的一个原函数上 式表明函数U()在[a,月]上的定积分等于b(t)
= s (t)dt, 如果又知该变速直线运动物体的路程函数为 则其在时间区间[ ]上通过的路程为 s = s(t), , s() − s(), 从而可得这两者应相等,即 = − (t)dt s() s(). 我们又知, 即 是 的一个原函数.上 式表明函数 在 上的定积分等于 s'(t) = (t), s(t) (t) (t) , (t)
的原函数s(t)在区间[a,B上的增量它反映了定积分与原 函数间的内在联系,这一规律是否具有普遍性,本节将 给予回答
的原函数 在区间[ 上的增量.它反映了定积分与原 函数间的内在联系，这一规律是否具有普遍性，本节将 给予回答. s(t) , ]
变上限的定积分 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,对于任意 x∈a61x)x的上也连续,因此,定积分0 存在对于给定的x∈[a,b]的每一个值,f(O)d都有惟 确定的值与之对应,因而∫f()d是定义在[ab上关于 积分上限的一个函数记作m(x)=f(dt,x∈[ab称 为变上限的定积分
一、变上限的定积分 设函数 在区间[ ]上连续，对于任意 的上也连续，因此，定积分 f (x) a,b x[a,b], f (x)在[a, x] x a f (t)dt 存在.对于给定的 x [a,b] 的每一个值， 都有惟 x a f (t)dt 一确定的值与之对应，因而 是定义在[ ]上关于 积分上限的一个函数.记作 称 为变上限的定积分. x a f (t)dt a,b ( ) ( )d , [ , ], = x a x f t t x a b
在几何上,当f(x)>0时,变上限的定积分(x)表 示右侧邻边可以变化的曲边梯形面积,如图5-9 y=fC e自 o a Dc 图59
在几何上，当 ≥0时，变上限的定积分 表 示右侧邻边可以变化的曲边梯形面积，如图5-9. f (x) (x)