这个面积q(x)随右侧邻边位置x的变化而变化,因 而这时(x)又称为面积函数
这个面积 随右侧邻边位置 的变化而变化，因 而这时 又称为面积函数. (x) x (x)
二、微积分基本定理 定理5,1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数 p(x)=f(t)dt 在区间[a,b]上可导,且 q(x)=(f()d)=f(x)
定理5.1 如果函数 f (x) 在区间[ ]上连续，则函数 [a,b] = x a (x) f (t)dt a,b '( ) ( ( )d )' ( ), = = x a x f t t f x 二、微积分基本定理 在区间 上可导，且
即变上限的定积分对积分上限x的导数等于被积函数在 积分上限x处的值 证△q=(x+△x)-(x) +△x f(dt-Cf(dt =/(+.(- x 由积分中值定理知,至少存在一定点,使得 ∈[x,x+△x]
即变上限的定积分对积分上限 的导数等于被积函数在 积分上限 处的值. 证 x x = (x + x) −(x) + = − x x a x a f (t)dt f (t)dt + = + − x a x x x x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt + = x x x f (t)dt 由积分中值定理知，至少存在一定点，使得 [x, x + x]
即△=f(5)A 已知∫(x是连续函数,Ax→>0时,5→>x,所以 f()→f(x),故 m lim f(s=f(x) >0△x5 →)x 因而 o(x)=lm f(x) Ax→>0△v 该定理告诉我们,变上限的定积分(x)=[f()d是 函数f(x)在区间上的一个原函数同时,也回答了上一章
即 已知 是连续函数， 时， 所以 ，故 = f ()x. f (x) x →0 → x, f ( ) → f (x) , 因而 lim lim ( ) ( ) 0 f f x x x x = = → → '( ) lim ( ). 0 f x x x x = = → 该定理告诉我们，变上限的定积分 是 函数 在区间上的一个原函数.同时，也回答了上一章 = x a (x) f (t)dt f (x)