前言 近几年来,学生反映虽然外面的参考书越来越多,但是都不太合适,具体来说跟我们的 授课不太协调,基于这种情况,我们编写了这本辅助教材,便于学生更好的学习高等数学。 这本书是由高数组老师共同参与编写的,支丽霞编写第一章:杨丽娜编写第二章由:穆 铮编写第三章;王玉凤编写第四和第五章;第六章和第十章由刘奋编写;李晓童编写第七章 第八章和第九章由陆晓光编写:第十一章由陈安乐编写:第十二章由刘福江编写,在这里感 谢他们的辛勤劳动 由于我们的水平有限,错误之处在所难免,敬请大家批评指正 数理系教研室高数组 2005-7-1
前 言 近几年来，学生反映虽然外面的参考书越来越多，但是都不太合适，具体来说跟我们的 授课不太协调，基于这种情况，我们编写了这本辅助教材，便于学生更好的学习高等数学。 这本书是由高数组老师共同参与编写的，支丽霞编写第一章；杨丽娜编写第二章由；穆 铮编写第三章；王玉凤编写第四和第五章；第六章和第十章由刘奋编写；李晓童编写第七章； 第八章和第九章由陆晓光编写；第十一章由陈安乐编写；第十二章由刘福江编写，在这里感 谢他们的辛勤劳动。 由于我们的水平有限，错误之处在所难免，敬请大家批评指正。 数理系教研室高数组 2005-7-1
章函数与极限 第一章函数与极限 基本要求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法 2.了解函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性 3.理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 4.掌握基本初等函数的性质及其图形 5.会建立简单应用问题中的函数关系式 6.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念,以及极限存在与左右极限的之间的关系 7.掌握极限的性质及四则运算法则 8.掌握极限存在的两个准则,并会利用他们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 9.理解无穷大以及无穷小的概念,回用等价无穷小求极限 10.理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型 11.解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,介值定理), 并会应用这些性质 二.主要内容 本章内容总框图 定义 初等、函数的连续性 映射 定义(定义域、值域、对应关系) 连续 连续函数的运算 性质(有界、单调、奇偶、周期) 函数 间断 闭区间上连续函数的性质 基本初等函数 函数与复合函数 x→>∞函数fx)→A 几何意义 E-8定义x→)x0f(x)→>A 数列极限的e一N定义 有关数列极限的定理 极限性质及 运算法则 无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 极限存在法则 两个重要极限
第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 一． 基本要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法 2． 了解函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性 3． 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形 5． 会建立简单应用问题中的函数关系式 6． 理解极限的概念，理解函数左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的之间的关系 7． 掌握极限的性质及四则运算法则 8． 掌握极限存在的两个准则，并会利用他们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 9． 理解无穷大以及无穷小的概念，回用等价无穷小求极限 10. 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型 11．解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，介值定理）， 并会应用这些性质 二． 主要内容 本章内容总框图 映射 定义 函数 反函数与复合函数 极限存在法则 两个重要极限 定义 极限性质及 运算法则 ε—M 定义 x→ ∞函数 f(x)→ A ε—δ定义 x → x0 f(x)→ A 数列极限的ε—N 定义 有关数列极限的定理 无穷小量与无穷大量 几何意义 极限 无穷小量的比较 定义（定义域、值域、对应关系） 连续 连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质 初等、函数的连续性 间断 基本初等函数 性质（有界、单调、奇偶、周期） 1
章函数与极限 1.函数 1.函数的定义 函数的分类 有理整函数(多项式函数) 有理函数 代数函数 有理分函数(分式函数) 无理函数 初等函数 函数 超越函数 非初等函数(分段函数 2.函数的性质 (1)函数的有界性 (2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性 (4)函数的周期性 3.反函数 4.复合函数 5.基本初等函数 (1)幂函数y=x“(是常数) (2)指数函数y=a2(a>0,a≠1) (3)对数函数y=log(a>0,a≠1) (4)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx (5)反三角函数y= arctan x,y= arccot x 6.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子 表示的函数 7.双曲函数与反双曲函数 双曲正弦sh 双曲余弦chx= e +e 双曲正切 thrs shx e2-ex e"+e 2.极限 1.极限的定义 “c一N”定义 定义1VE>0,三N>0,使n>N时,恒有|xn-a<E,记为lmxn=a或xn→a(n→∞)
第一章 函数与极限 1. 函数 1. 函数的定义 函数的分类 有理整函数（多项式函数） 有理函数 代数函数 有理分函数（分式函数） 无理函数 初等函数 函数 超越函数 非初等函数（分段函数） 2. 函数的性质 (1) 函数的有界性 (2) 函数的单调性 (3) 函数的奇偶性 (4) 函数的周期性 3. 反函数 4. 复合函数 5. 基本初等函数 (1) 幂函数 (μ是常数) µ y = x (2) 指数函数 y = a ( ) a > 0,a ≠1 x (3) 对数函数 y = log ( ) a > 0,a ≠1 x a (4) 三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x (5) 反三角函数 y = arctan x, y = arccot x 6. 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个 式子 表示的函数 7. 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦 shx= 2 x x e e− − 双曲余弦 chx= 2 x x e e− + 双曲正切 thx= chx shx = x x x x e e e e − + − 2． 极限 1．极限的定义 “ε— N”定义 定义 1 ∀ε > 0 ,∃N > 0 ,使 n>N 时，恒有| xn − a |<ε ，记为 x a n n = →∞ lim 或 xn → a （ n → ∞） 2
章函数与极限 “E-δ”定义 定义2VE>0,36>0,使当04x-x0k时,恒有(x)-A<6,记为im=A或∫(x)→A (当x→xn) 左极限VE>0,彐>0,使当x0-6<x<x时,恒有f(x)-AkE,记为limf(x)=A或 f(xo)=A 右极限VE>0,彐δ>0,使当x<x<x+时,恒有f(x)-4kE,记为limf(x)=A或 f(x0)=A 定理:limf(x)=A分f(x)=f(x0)=A 2.无穷小与无穷大 无穷小:极限为零的变量称为无穷小,记作limf(x)=0(或limf(x)=0) 无穷大:绝对值无限增大的变量称为无穷大,记作limf(x)=∞(或lim∫(x)=∞) 无穷小与无穷大的关系 在同一个极限过程中,无穷大的倒数为无穷小:恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小的运算性质 定理1在同一极限过程中,有限个无穷小的代数和仍为无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 3.极限的性质 定理设imf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)=A±B (2)lim[f(x)·g(x)=A·B (3) lim 其中B≠0 推论1如果Iimf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)= clim f(x) 推论2如果Iimf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)”=[limf(x) 4.求极限的常用办法 (1)用定义求之
第一章 函数与极限 “ε −δ ”定义 定义 2 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当0 <| x − x0 |< δ 时，恒有 f (x)− A < ε ，记为 或 （当 ） A x x = → 0 lim f (x) → A 0 x → x 左极限 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当 0 0 x −δ < x < x 时，恒有| f (x) − A |< ε ，记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 或 f (x0 − ) = A ， 右极限 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当 x0 < x < x0 +δ 时，恒有| f (x) − A |< ε ，记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 或 f x = A + ( ) 0 定理： f x A f x f x A x x = ⇔ = = + − → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2．无穷小与无穷大 无穷小：极限为零的变量称为无穷小，记作 lim ( ) 0 0 = → f x x x （或lim ( ) = 0 →∞ f x x ） 无穷大：绝对值无限增大的变量称为无穷大，记作 = ∞ → lim ( ) 0 f x x x （或 = ∞ ） →∞ lim f (x) x 无穷小与无穷大的关系 在同一个极限过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小的运算性质 定理 1 在同一极限过程中，有限个无穷小的代数和仍为无穷小 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论 1 在同一极限过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 3．极限的性质 定理 设lim f (x) = A ，lim g(x) = B ，则 （1）lim[ f (x) ± g(x)] = A ± B （2）lim[ f (x)⋅ g(x)] = A⋅B （3） B A g x f x = ( ) ( ) lim ，其中 B ≠ 0 推论 1 如果lim f (x) 存在，而 c 为常数，则lim[cf (x)] = c lim f (x) 推论 2 如果lim f (x) 存在，而 n 是正整数，则 n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] 4．求极限的常用办法 （1）用定义求之 3
章函数与极限 (2)利用极限的四则运算法则 (3)利用无穷小的运算性质求之 (4)利用左右极限求分段函数极限 (5)利用极限存在的两个准则求极限 (6)利用两个重要极限求极限 (7)利用等价无穷小代换求极限 (7)利用初等函数的连续性求极限 5.判定极限存在的准则 准则I如果当x∈U°(x0,y)(或|x卜M)时,有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2) lim g(x)=A, lim h(x)=A 则limf(x)存在,且等于A (夹逼准则 准则Ⅱ单调有界数列必有极限 6.两个重要极限 (1) lim- SIn x (2)lim(1+-)2=e或lm(1+x)x=e 7.无穷小的比较 定义:设a,B是同一极限过程中的两个无穷小,且a≠0 (1)如果lim==0,就说β是比a高阶的无穷小,记作B=o(a) (2)如果im2=C(C≠0),就说B与a是同阶的无穷小 特殊的如果1im2=1,则称B与a是等阶的无穷小,记作a~B (3)如果lmB 8.价=C(C≠0.K>0),就说B是a的K阶无穷小 穷小的性质 定理(等价无穷小替换定理):设a~a,B~B且ImB存在,则m2=imnB 极限的性质 唯一性 (2)有界性 (3)保号性 (4)函数极限与数列极限的关系(与数列极限和其子列的极限的关系类似) 10.连续 1连续的定义 定义1若limy=0或lim[f(x0+△x)-f(x0)=0则称函数y=f(x)在点x连续
第一章 函数与极限 （2）利用极限的四则运算法则 （3）利用无穷小的运算性质求之 （4）利用左右极限求分段函数极限 （5）利用极限存在的两个准则求极限 （6）利用两个重要极限求极限 （7）利用等价无穷小代换求极限 （7）利用初等函数的连续性求极限 5．判定极限存在的准则 准则Ⅰ 如果当 x∈U 0 (x0 ,γ )（或| x |> M ）时，有 （1） g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) （2） g x A x x x = → →∞ lim ( ) ( ) 0 ， h x A x x x = → →∞ lim ( ) ( ) 0 ) 则 lim ( )存在，且等于 A （夹逼准则） ( ) 0 0 f x x→x x→x 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 6．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0 = → x x x （2） e x x x + = →∞ ) 1 lim(1 或 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 7．无穷小的比较 定义：设α ， β 是同一极限过程中的两个无穷小，且α ≠ 0 （1）如果lim = 0 β α ，就说 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β = ο(α) （2）如果lim = C(C ≠ 0) α β ，就说 β 与α 是同阶的无穷小 特殊的如果lim =1 α β ，则称 β 与α 是等阶的无穷小，记作α ~ β （3）如果lim = C(C ≠ 0,K > 0) k α β ，就说 β 是α 的 K 阶无穷小 8．等价无穷小的性质 定理（等价无穷小替换定理）：设α ~ α',β ~ β '且 ' ' lim α β 存在，则 ' ' lim lim α β α β = 9．极限的性质 （1）唯一性 （2）有界性 （3）保号性 （4）函数极限与数列极限的关系（与数列极限和其子列的极限的关系类似） 10．连续 1.连续的定义 定义 1 若 lim 0 0 ∆ = ∆ → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + ∆ − = ∆ → f x x f x x 则称函数 y = f (x) 在点 x0 连续 4