34函数的极值 从上节图3-8中可以看出,函数f(x)=(1-x)(3x-2)2在 点x=3的左侧附近,(x)是单调减少的,在点x=3的右 侧附近,f(x是单调增加的,点x=3是f(x)的单调区间的分 界点,而且在该点的某个去心邻域内,f(x)>f()均成 立,满足这种性质的点在应用上具有重要意义,我们定义 如下: 定义31设函数y=f(x)在点x0的某个δ邻域 N(x0,)={x-6<x<x0+}内有定义。 (1)若∨x∈(N(x026)-{x0})=(x0-6,x0)∪(x2x0+o) 有f(x)≤f(x),则称f(x为函数f(x)的极大值,并且 称点x0是f(x)的极大值点 (2)若wx∈(Nx,o)-{x}),有f(x)>f(x),则称(x为函 数f(x)的极小值,并且称点xO是f(x)的极小值点
3.4 函数的极值 从上节图3-8中可以看出，函数 在 点 的左侧附近， 是单调减少的，在点 的右 侧附近， 是单调增加的，点 是 的单调区间的分 界点，而且在该点的某个去心邻域内， ＞ 均成 立，满足这种性质的点在应用上具有重要意义，我们定义 如下： 定义3.1 设函数 在点 的某个 邻域 内有定义。 ⑴若 , 有 ＜ ，则称 为函数 的极大值，并且 称点 是 的极大值点. ⑵若 ，有 ＞ ，则称 为函 数 的极小值，并且称点 是 的极小值点。 0 x 3 2 f (x) = (1− x) (3x − 2) 3 2 x = f (x) 3 2 x = f (x) 3 2 f (x) x = ) 3 2 f (x) f ( f (x) y = f (x) ( , ) { } N x0 = x x0 − x x0 + ( ( , ) { }) ( , ) ( , ) x N x0 − x0 = x0 − x0 x0 x0 + f (x0 ) f (x) ( ) 0 f x f (x) 0 x ( ( , ) { }) 0 0 x N x − x f (x) ( ) 0 f x ( ) 0 f x f (x) 0 x f (x)
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点 与极小值点统称为函数的极值点.显然,极值是一个局部 概念,它只是在与极值点的某邻域内点的函数值相比较而 ,并不意味着它在函数的值域内的最大或最小,因此. 有可能出现函数f(x)的某个极大值却小于某个极小值的情形 如图39所示,函数f(x)在定义域[a2b]内有两个极大 值∫(x),∫(x)和两个极小值f(x),f(x3),其中极小值fx)却大 于极大值f(x) 图3-9
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点 与极小值点统称为函数的极值点.显然，极值是一个局部 概念，它只是在与极值点的某邻域内点的函数值相比较而 言，并不意味着它在函数的值域内的最大或最小，因此， 有可能出现函数 的某个极大值却小于某个极小值的情形. 如图3-9所示，函数 在定义域 [ ]内有两个极大 值 ， 和两个极小值 ， ，其中极小值 却大 于极大值 . f (x) f (x) a,b ( ) 1 f x ( ) 4 f x ( ) 2 f x ( ) 5 f x ( ) 5 f x ( ) 1 f x
由图3-9可看到,在可导的极值点x12xs处 有f"(x1)=f"(x3)=0,而在x=x3处,虽然f(x3)=0,但 是x不是极值点还有在x=x2及x=x4处,虽然f(x)不可 导,但这两点却是极值点 那么,函数极值的性质及判别法如何呢? 定理37(必要条件)设函数(x)在点x处可导,且点x 是f(x)的极值点,则在点x处的导数为零,即 x 0 证不妨假定点x是f(x)的极小值点,则彐δ>0,使 xe(N(x0,)-{x0}),有f(x)>f(x 于是,当x<x时,有 f(x)-f(x0) X-x <0,由 于f(x)在点x0处可导,所以 f(ro)=ln f(x)-f(xo) X-x
由图3-9可看到，在可导的极值点 处， 有 = 0，而在 处，虽然 ，但 是 不是极值点. 还有在 及 处，虽然 不可 导，但这两点却是极值点. 那么，函数极值的性质及判别法如何呢？ 1 5 x , x 定理3.7 (必要条件) 设函数 在点 处可导 , 且 点 f '(x0 ) = 0 证 不妨假定点 是 的极小值点,则 ＞0 , 使 ,有 ＞ , 于是,当 ＜ 时,有 ＜0 , 由 于 在点 处可导,所以 ≤0. x0 f (x) x ( ( , ) { }) 0 0 N x − x f (x) ( ) 0 f x x 0 x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − f (x) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim 0 x x f x f x f x x − − = → − 是 '( ) '( ) 1 5 f x = f x x = x3 f '(x3 ) = 0 3 x 2 x = x 4 x = x f (x) f (x) 0 x 0 x f (x) 0 的极值点，则在点 x 处的导数为零，即
当x>x0时有()x)>0.由于f(x)在点x处 X-x 可导所以 r(x)=lm1(x)-(x>0, x→0x-x 故只能有∫(x0)=0 我们称使f(x0)=0的点x为f(x)的驻点 定理37说明可导的极值点一定是驻点,但是,驻点却不 定是极值点如图3-9中的点x3就是其一;而不可导点,也不 定不是极值点如图3-7中,(=(x-5)￥x+在点x=-1处不 可导,但f(-1却是(x)的极小值,下面给出两个判断极值的 充分条件
当 ＞ 时,有 ＞0,由于 在点 处 可导,所以 ≥0, 故只能有 . 我们称使 的点 为 的驻点. x 0 x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − f (x) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim 0 x x f x f x f x x − − = → + f '(x0 ) = 0 f '(x0 ) = 0 0 x f (x) 定理3.7说明,可导的极值点一定是驻点,但是,驻点却不 一定是极值点,如图3-9中的点 就是其一;而不可导点,也不 一定不是极值点,如图3-7中, 在点 = -1处不 可导,但 却是 的极小值,下面给出两个判断极值的 充分条件. 3 x 2 3 2 f (x) = (x − 5) (x +1) x f (−1) f (x)
定理38(判别法Ⅰ)设f(x)在x连续,在x的去心邻域 (x-6x)U(x0,x0+6)内可导, (1)如果在(x=6x)内f(x)<0,在(x0,x+6)内∫(x)>0, 那么∫(x)在x0取极小值, (2)如果在(x-8x)内f(x)>0,在(x,x+6)内(x)<0, 那么f(x)在x0取极大值, (3)如果在(x-6,x则(x,x+)内f(x)不变号, 则f(x)在x处不取极值
定理3.8 (判别法Ⅰ) 设 在 连续,在 的去心邻域 ( ) 内可导, f (x) 0 x 0 x 0 0 x − , x ( , ) x0 x0 + 0 0 x − , x f '(x) + 0 0 ⑴如果在( )内 ＜0,在( x , x )内 f '(x) ＞0, 那么 在 取极小值, f (x) ⑵如果在( )内 ＞0,在( )内 ＜0, 那么 在 取极大值, ⑶如果在 内 不变号, 则 在 处不取极值. f '(x) f '(x) ( , ) ( , ) x0 − x0 x0 x0 + f '(x) 0 x 0 0 x − , x f (x) 0 x x0 , x0 + f (x) 0 x