53定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元积分法 定理53若函数f(x)在区邮[ab]上连续函数 x=(t),满足下列条件 (1)x=0()在区间a,B上有连续的导数g(t)
5.3 定积分的换元法与分部积分法 一、定积分的换元积分法 f (x)在区间[a,b]上连续,函数 x = (t), 满足下列条件: x =(t)在区间[a,]上有连续的导数'(t), 定理5.3 若函数 （1）
2)当油Q变到耐时,o()从(a)=a单调地变到o()=b则有 f(x dx=L[p(D)lo( )dt 称该公式为定积分的换元公式 证设F(x)是f(x)一个原函数则 f(xXx= F(b-f(a 又由于[F((t)]=F"(x)·q(t)=f(x)·(t)
t由变到时,(t)从() = a单调地变到() = b,则有 = b a f x x f t t t ( )d [( )]'( )d , F(x)是f (x)的一个原函数,则 = − b a f (x)dx F(b) F(a). [F((t))]' = F'(x) '(t) = f (x) '(t) (2) 当 证 设 称该公式为定积分的换元公式. 又由于
=f[g(t)]·q(t) 即Fo()是f([m()q()的一个原函数因此 /ol()=F() Fl B]-Fl(al F(6-F(a)
即 = f [(t)]'(t), F[(t)]是f ([(t)]'(t)的一个原函数,因此 a f [ (t)] '(t)dt F[ (t)] = = F[()] − F[(a)] = F(b) − F(a)
所以 f(x)dx=flo(tlo(t)dt 从左向右使用公式,相当于不定积分的第二换元法, 从右向左使用相当不定积分的第一换元积分法在使用定 积分换元积分公式时,要特别注意用x=q(t)进行代换 的同时,积分上下限应同时换成新变量的积分上下限
所以 从左向右使用公式，相当于不定积分的第二换元法， 从右向左使用相当不定积分的第一换元积分法.在使用定 积分换元积分公式时，要特别注意用 进行代换 的同时，积分上下限应同时换成新变量的积分上下限. = b a f x dx f t t dt ( ) [( )]'( ) . x = (t) t
例1求 ax 解设√x=t,则x=t2,dx=2d, 当x=4时,t=2,x=9,t=3,于是
例1 求 9 4 1 d 1 x x − 解 设 2 x t x t x t t = = = , ,d 2 d , 则 当x = 4时,t = 2, x = 9时,t = 3,于是