3.1中值定理 定理31(罗尔(Role)中值定理) 如果函数y=f(x)满足条件 (1)在[a,b上连续, (2)在(a,b)内可导, (3)f(a)=f(b) 则至少存在一点ξ∈(a,b使/"()=0
3.1 中 值 定 理 定理3.1 (罗尔（Rolle）中值定理) 如果函数 y = f (x) 满足条件： ⑴ 在 [a，b] 上连续， ⑵ 在 (a,b) 内可导， ⑶ f (a) = f (b) 则至少存在一点 (a,b),使f '() = 0
证因为函数f(x)在区间[a,b上连续所以它在[a,b]上 必能取得最小值m和最大值M(闭区间上连续函数的最值 性).于是有两种可能情况: (1)若M=mn,则∫(x)=m,Vx∈{a,b,f(x)=0, x∈(a,b) (2)若M>m,由于f(a)=f(b),则数M与m中至少有一个 不等于端点的函数值f(q),设M≠f(a),则存在点E∈(a,b) 使得f()=M下证f"(2)=0
证 因为函数 在区间 上连续,所以它在 上 必能取得最小值 和最大值 （闭区间上连续函数的最值 性）.于是有两种可能情况： ⑴若 则 f (x) = m,x[a,b], f '(x) = 0, x(a,b). ⑵若 M ＞ m ,由于 f (a) = f (b) ,则数 与 中至少有一个 使得 .下证 ( ) = 0. f ( ) = M f ' 不等于端点的函数值 f (a) ，设 M f (a) ，则存在点 (a,b) f (x) M = m, [a,b] [a,b] m M M m
由于f()=M,所以f(x)-f(5)<0,Vx∈(a,b) 当x>5时有 f(x)-f() 由于/()存在及极限的保号性可知 f(s)= lim f(x)-f(s x→ 当<x时有(x)-(50 于是f( ()=m<(x)-f(50, x->5 x 所以f"()=0
由于 f ( ) = M ，所以 f (x) − f ( ) ≤0， x (a,b). 当 x ＞ 时有 0 , ( ) ( ) − − x f x f 由于 f '( ) 存在及极限的保号性可知 = ≤0. f '( ) → + x lim − − x f (x) f ( ) 当 ＜ x 时有 ≥0， − − x f (x) f ( ) 于是 f '( ) = x lim → − ≥0， − − x f (x) f ( ) 所以 f '( ) =0
罗尔中值定理的几何意义: 如果连续光滑曲线在点A,B处的纵坐标相等,那么, 弧AB上至少有一点C,曲线在C点的切线为水平切线, 如图3-1. f(x) 图3-1
罗尔中值定理的几何意义： 如果连续光滑曲线在点 处的纵坐标相等，那么， 弧 上至少有一点 ，曲线在 点的切线为水平切线， 如图3-1. 图3-1 A, B AB C C
例1验证函数f(x)=x2-3x-4在[-1,4上是否满足 罗尔中值定理的条件如果满足,求区间(-1,4)内满足 罗尔中值定理的ξ值. 解f(x)=x2-3x-4=(x+1)x-4)在[-1,4上连续,在 (-1,4)内可导,且f(-1)=f(4)=0,所以满足罗尔中 值定理条件解方程∫(x)=2x-3=0,得x=2∈(14)这 即为满足罗尔中值定理的ξ值 罗尔中值定理的三个条件缺一不可,否则定理的结 论就可能不成立,请读者自己举出反例
例1 验证函数 在[-1，4]上是否满足 罗尔中值定理的条件.如果满足，求区间（-1，4）内满足 罗尔中值定理的 值. ( ) 3 4 2 f x = x − x − 解 ( ) 3 4 ( 1)( 4) 2 f x = x − x − = x + x − 在[-1，4]上连续，在 （-1，4）内可导，且 f (−1) = f (4) = 0 ，所以满足罗尔中 值定理条件.解方程 f '(x) = 2x − 3 = 0 ，得 x ( 1,4) 2 3 − = ,这 即为满足罗尔中值定理的 值. 罗尔中值定理的三个条件缺一不可，否则定理的结 论就可能不成立，请读者自己举出反例