注意A是 12 中的有界集， 由于A中不存在Cauchy序列，所以它还是闭集：说明：1）在无穷维空间，有界闭集并不一定是紧集：即在无穷维空间，Heine-Borel定理并不成立：2）由定义，完全有界集一定是有界集，若 xi,,x,是完全有界集 A的 网,则VxEA,xEA,sup p(xo, x)≤max p(xo,x,) + 81≤i≤nXEA
说明： 1) 在无穷维空间，有界闭集并不一定是紧 集. 即在无穷维空间，Heine-Borel 定理并不成立. 2) 由定义，完全有界集一定是有界集. 0 0 1 sup ( , ) max ( , ) . i i n x A x x x x + 注意 是 中的有界集，由于 中不存在 Cauchy序列，所以它还是闭集. 2 A l A 若 是完全有界集 的 网， 则 1 , , n x x 0 x A x A , , A
定理1设X是度量空间，AcX，则下列两条件等价：(1)A是紧集;(2)A 中任一无穷序列(xm)包含有子序列(x),Xn→x并且 xEA.证明：(1)=(2). 设A紧，(x)是A 中的无穷序列.若无子序列收敛于A中的元，则VxEA,3rx>O 和自然数 n，使得O(x,r)n(xn,n ≥nx) =p
定理1 证明： (1) (2). O x r x n n ( , ) , . x n x = 设 X 是度量空间， A X , 则下列两条件等价： (1) A 是紧集； (2) 中任一无穷序列 包含有子序列 ， 并且 xn xnk nk x x → x A . A 设 紧， 是 中的无穷序列. A xn A 若 无子序列收敛于 中的元，则 和自然数 ，使得 xn x A, r x 0 nx A
由 UO(x,r) A 及紧性定义知:xEAUo(x',rx )D A存在有限多个元,…,x，使得i=1但当 m≥max[nx,,nx]时,O(x), rx, )n(xn,n ≥m) =g(xn,n≥m)= An(xn,n≥m)从而cUo(x,rx,)n(xn,n ≥m) =g,j=1此为矛盾。 于是(2)成立
由 x A O x r A ( , ) x 及紧性定义知： 存在有限多个元 x x 1 , , k ，使得 1 ( , ) . j k j x j O x r A = 但当 m n n max , , x x 1 k 时， ( , ) , . j O x r x n m j x n = 从而 1 , , ( , ) , , j n n k j x n j x n m A x n m O x r x n m = = = 此为矛盾. 于是(2)成立