例题例1 [已知[ f(x)dx = xe2× +C,求f(x).提示与分析：根据不定积分的定义，我们知道xe2x+C是f(x)的所有原函数,由原函数定义知f(x)=(x’e2x +C)解=(x’e2*) +(C)=(x)e2x +x(e2x)+0-2xe2* + 2x'e?x
2 2 例1 ( ) , ( ). 已知 f x x x C f x d e = +x 求 解 e 2 2 ( ) ( ) x x C + 2 2 2 2 ( ) ( ) e e x x x x + 提示与分析： 例题 2 2 2 2 ( ) , ( ) ( ) . 根据不定积分的定义，我们知道 e 是 的所有原函数 由原函数定义知 e x x x C f x f x x C + = + 2 2 ( ) ( ) e x f x x C = + = = 2 2 ( ) e x x ( ) C +0 2 2 2 2 2 . e e x x = x x +
求例2dx.x2 +1提示与分析：对被积函数进行变形，然后再积分rx*-1+1解原式=dxx2 +1-1)+1)(xdxx+1x十dx+1
例 求 d 4 2 2 . 1 x x x + 解 提示与分析： 原式 = = +1 = 对被积函数进行变形，然后再积分. d 4 2 1 x x x + −1 d 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 [ ] 1 1 x x x x x + − + + + )d 2 2 1 ( 1 1 x x x − + +
dxx+1[ xdx-{dx+J_+-x + arctanx +C3
1 3 arctan . 3 = − + + x x x C = )d 2 2 1 ( 1 1 x x x − + + = d d d 2 2 1 1 x x x x x − + +
例3 求[(x+1)°dx.利用不定积解一原式=[(x2+2x+1)dx分性质计算-J x’dx+ [ 2xdx+ dx+*+++c.解二 原式=[(x+1)dx=(x+1)d (x+1)利用第一换(x+1) +C.元法计算
例 求 d 2 3 ( 1) . x x + 解一 原式 = = = 1 3 2 . 3 x x x C + + +d 2 ( 2 1) x x x + + 利用不定积 分性质计算 d d d 2 x x x x x + + 2 解二 原式 = d 2 ( 1) x x + dx = 2 ( 1) x + d ( 1) x + = 1 3 ( 1) . 3 x C + + 利用第一换 元法计算
例4 求(dx.xlnx解原式=InxXd(ln x)lin x= In In x|+ C.1从而dx = In In x+C.xlnx
1 ln x 例 求 d 1 4 . ln x x x 解 原式 = = d 1 1 ln x x x = d 1 x x d(ln ) x ln ln . x C+ 从而 d 1 ln ln . ln x x C x x = +