南京大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 09 计数

选课的例子 口全班共有160个学生 口选数学课64人，选计算机课94人，选金融课58人 口选数学与金融的28人，选数学与计算机的26人，选 计算机与金融的22人 口三种课全选的14人。 问：这三种课都没选的是多少？只选一门计算 机的有多少？

选课的例子  全班共有160个学生  选数学课64人，选计算机课94人，选金融课58人  选数学与金融的28人，选数学与计算机的26人，选 计算机与金融的22人  三种课全选的14人。  问：这三种课都没选的是多少？只选一门计算 机的有多少？

选课的例子 8 M-数学、C-计算机、F金融 口容斥原理 6 M 24 MUCUF=M+C+F- M⌒F|-|M∽Cl-ICF|+ IM⌒C⌒FI 12 14 14 =64+94+58-28-26-22+14 =154 60 8 22 因此，6人未选课。 只选了计算机课的60人

选课的例子 8  M-数学、C-计算机、F-金融  容斥原理 |MCF|=|M|+|C|+|F|- |MF|-|MC|-|CF|+ |MCF| =64+94+58-28-26-22+14 =154 因此, 6人未选课。 只选了计算机课的60人 M C F 14 12 14 8 24 60 22 6

容斥原理 (Principle of Inclusion and Exclusion) 假设A,A2,,A是个有限集合，则它们的并集的元素个数是： 0-S-8+S,+(-3++-5. 其中，S=】 ∑1A∩A,n∩A|k=1,2…,n l≤i1≤i2≤.≤ik≤n 例如：4个子集的公式为： 1A1+1A21+1A31+1A4T (A1∩A2l+|A1∩A3|+|A1∩A4|+1A2A3|+|A2A4l+|A3∩A4l) +(IA1OA2∩A3+|A1∩A2∩A4l+|A1∩A3∩A4|+|A2∩A3∩A4l) -|A1∩A2∩A3∩A4l

容斥原理 (Principle of Inclusion and Exclusion )      = =    = = + + − + + − i i i n k i i i n n k k n k k S A A A k n S S S S S A A A 1 ... -1 -1 1 2 3 n i 1 i 1 2 1 2 1 2 | ... | 1,2,..., A - -... ( 1) ... ( 1) , ,..., n 其中， 假设 是 个有限集合，则它们的并集的元素个数是：  例如：4个子集的公式为： |A1|+ |A2|+ |A3|+ |A4| - (|A1A2|+|A1A3|+|A1A4|+|A2A3|+|A2A4|+|A3A4|) + (|A1A2A3|+|A1A2A4|+|A1A3A4|+|A2A3A4|) - |A1A2A3A4|

容斥原理的证明 ▣公式：UA=S,-S2+S,-+(-1)S++(-1)Sn i=1 口我们证明并集中的元素在右边式子中恰好被计数1次 口设并集中对象a出现在m个集合A中 则它在在S中被计数m次，在S2中被计数C2”次 口 ■以n=4,m=3为例： S1:1Al+1A21+1A3l+1Al S2: -(IA1∩A2I+|A1∩A3|+|A1∩A4|+|A2∩A3|+|A2∩A4I+|A3∩A4I) S3: +(IA1∩A2∩A3+|A1∩A2∩A4|+|A1∩A3∩A4|+|A2∩A3∩A4) S4: -|A1∩A2∩A3∩A4

容斥原理的证明  公式：  我们证明并集中的元素在右边式子中恰好被计数1次  设并集中对象a出现在m个集合Ai中  则它在在S1中被计数m 次，在S2中被计数 次 ◼ 以n=4，m=3为例： n n k k S S S S S -1 -1 1 2 3 n i 1 i A = - + -...+ (−1) +...+ (−1) =  m C2 |A1|+ |A2|+ |A3|+ |A4| - (|A1A2|+|A1A3|+|A1A4|+|A2A3|+|A2A4|+|A3A4|) + (|A1A2A3|+|A1A2A4|+|A1A3A4|+|A2A3A4|) - |A1A2A3A4| S1 ： S2 ： S3 ： S4 ：

容斥原理的证明 口公式：UA=S,-S2+S-+(-1)S++(-1)Sn 口我们证明并集中的元素在右边式子中恰好被计数1次 口设并集中对象a出现在m个集合A中 则它在在S,中被计数m次，在S中被计数C次 a 口将上述分析带入计数公式可得a在右式中计数次数： Cm-C2+.+(-1)-C+.+(-1)m-Cm ■该计算式值为1，因为当x=1时下式为0： (1-x)m=1-Cmx+C2x2+.+(-1)Cx+.+(-1)C ▣a恰好被计数1次

容斥原理的证明  公式：  我们证明并集中的元素在右边式子中恰好被计数1次  设并集中对象a出现在m个集合Ai中  则它在在S1中被计数m 次，在Sk中被计数 次  将上述分析带入计数公式可得a在右式中计数次数： ◼ 该计算式值为1，因为当x=1时下式为0：  a恰好被计数1次 n n k k S S S S S -1 -1 1 2 3 n i 1 i A = - + -...+ (−1) +...+ (−1) =  m Ck m m m m k m m k C C C C 1 1 1 2 ... ( 1) ... ( 1) − − − + + − + + − m m m m k m k m m m k (1 x) 1 C x C x ... ( 1) C x ... ( 1) C x 2 − = − 1 + 2 + + − + + −