athematical Physics(2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU ∑u4(2)绝对且一致收救。( Weierstrass的M判别法) 连续性,如果4()(k=1,2…)在D内连续,级数∑4()在D内一致收敛,则其和 函数S()=∑u4(2)也在D内连续。 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致连续级数可以逐项求极限, 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即,im∑u4()=∑hu4(=) ·逐项求积分:设C是区域D内一条分段光滑曲线,如果4()(k=1,2,…)在C上连 线,则对FC上一致收敛级数∑()可以逐项积分「∑(=∑[ ·逐项求导数(Woms定理)设u1()(k=12…)在D中单值解析∑u2()在D 中一致收敛,则此级数之和f(-)=∑u1()是D内的解析函数,f()可逐项求导 求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。f()=∑() [上面这些性质的证明见《数学物理方法》,北大吴崇试,高等教育出版社。 函数f(x)在x处连续即limf(x)=f(x0)可表述为:对任意给定的E>0,总存在 δ>0,当2-x<6时,使得|f(x2)-f(x)<E成立 一致连续:不依赖于x.例如:f(x)=,x∈(0.1),|Ax=x2-x|=0,|l 对任意小的正数δ,A|= <E,(x1,x)>d,所以连续,但并非一致连续 x2x, x,I2 因为当x=△,x2=△+时,A 若△>,则连续,若△δ,则A △(△+o) 康托尔( Couter)定理:在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续。 6
Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6 ( ) k=1 k u z 绝对且一致收敛。（Weierstrass 的 M 判别法） ⚫ 连续性：如果 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 D 内连续，级数 ( ) k=1 k u z 在 D 内一致收敛，则其和 函数 ( ) = = 1 ( ) k k S z u z 也在 D 内连续。 ⚫ 这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限， 或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即， = → = → = 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 0 k k z z k k z z u z u z . ⚫ 逐项求积分：设 C 是区域 D 内一条分段光滑曲线，如果 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 C 上连 续， 则对于 C 上一致收敛级数 ( ) k=1 k u z 可以逐项积分， 1 1 ( )d ( )d . k k C C k k u z z u z z = = = ⚫ 逐项求导数（Weierstrass 定理）：设 ( ) 1,2, k u z k （ = ） 在 D 中单值解析， ( ) k=1 k u z 在 D 中一致收敛，则此级数之和 ( ) = = 1 ( ) k k f z u z 是 D 内的解析函数， f (z) 可逐项求导， 求导后的级数在 D 中的任意闭区域中一致收敛。 ( ) ( ) 1 ( ) ( ). m m k k f z u z = = [上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大 吴崇试，高等教育出版社。] 函数 f x( ) 在 0 x 处连续即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 可表述为：对任意给定的 0 ，总存在 0 ，当 2 1 x x − 时，使得 2 1 f x f x ( ) ( ) − 成立。 一致连续： 不依赖于 x . 例如： 1 f x( ) x = ，x(0,1) ， 2 1 = − = x x x ， f . 对任意小的正数 ， 2 1 1 2 1 1 x f x x x x = − = ， 1 2 ( , ) x x ，所以连续，但并非一致连续。 因为当 1 2 x x = = + , 时， ( ) f = + .若 ，则连续; 若 ，则 1 f 1 . 康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续
Methods of Mathematical Physics (2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 幂级数( Power series 1.定义:以幂函数(=-b)为一般项的级数f()=∑a(=-b)称为以b为中 心的幂级数。反之,函数f(x)在z=b附近的 Tay lor级数展开,其系数为 (k=0,1,2…) 2.幂级数的收敛性 Abel定理:如果级数∑a(-b)在某点=0收敛,则 k=0 该级数在圆域-b<-b内绝对收敛,而且在 b -b≤r(<-b内一致收敛。 证明:因为∑a4(=-b)在=点收敛,故一定满足必 要条件,lin 因此存在正数M使得,1(0-6≤M(k=012…),于是, -b-1615M1b 当|Z= -6<1,即b--时,几何级数∑ 收敛,故∑a4(-b) 在圆-b<=0-b内绝对收敛。 而当上一b≤F<-b时,1(=-的ysM 而常数项级数 收 敛,故根据 Weierstrass H] M判别法,∑a(=-b)在圆-b≤r(r<。-b)内 致收敛。 推论一:如果级数∑a(-b)在某点。发散,则该级数在圆域 -b>0-b外处处发散
Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7 二、 幂级数( Power series) 1．定义：以幂函数 ( ) k z − b 为一般项的级数 ( ) = = − 0 ( ) k k f z ak z b 称为以 b 为中 心的幂级数。反之，函数 f z( ) 在 z b = 附近的 Taylor 级数展开，其系数为 0,1,2, k a k （ = ）. 2．幂级数的收敛性： Abel 定理：如果级数 ( ) = − k 0 k ak z b 在某点 0 z 收敛，则 该级数在圆域 z − b z0 − b 内绝对收敛，而且在 ( ) z − b r r z0 − b 内一致收敛。 证明：因为 ( ) = − k 0 k ak z b 在 0 z 点收敛，故一定满足必 要条件， lim ( 0 − ) = 0 → k k k a z b . 因此存在正数 M，使得， a (z b) M k k 0 − (k = 0,1,2, ) ，于是， ( ) ( ) k k k k k k z b z b M z b z b a z b a z b − − − − − = − 0 0 0 . 当 0 | | 1 z b Z z b − = − ，即 z − b z0 − b 时，几何级数 = − − k 0 0 k z b z b 收敛，故 ( ) = − k 0 k ak z b 在圆 z − b z0 − b 内绝对收敛。 而当 z −b r z0 −b 时， ( ) k k k k z b r a z b M − − 0 ，而常数项级数 k=0 0 − k k z b r 收 敛，故根据 Weierstrass 的 M 判别法， ( ) = − k 0 k ak z b 在圆 ( ) z − b r r z0 − b 内 一致收敛。 推论一： 如果级数 ( ) = − k 0 k ak z b 在某点 0 z 发散，则该级数在圆域 z − b z0 − b 外处处发散
Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 当|1时,,=∑:(21外处处发散);当>1时, ∑1=∑1(≤1内处处发散) =0一 推论二:对于幂级数∑a(=-b),必存在一个实数R≥0,使得在圆 b=R内级数处处收敛,同时在圆-b=R外级数处处发散。 *这个圆-b=R称为∑a(=-b)的收敛圆,而并径R称为收敛半径 收敛半径的求法,虽然有紧接着下面的常规方法,但是见p11的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3.幂级数的收敛圆和收敛半径 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆及其收敛半径: (1)R=lm当,这是因为,根据 D'Alembert判别法,有 a(-by21=-blmg<1时级数收敛。因此得 -b<r=lim (2)R=lm,这是因为,根据Cauy判别法,有 /aI lm(-by=-bmy<1时级数收敛。因此得 R=lim va, 4.幂级数∑a(2-b)在收敛区域内的性质 在收敛圆内绝对收敛,在收圆内的任何闭圆域上一致收敛。[ Abel theorem 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数,由Abel定理知幂
Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 当 z 1 时 ， 0 1 1 n n z z = = − ( 1 z 外处处发散） ; 当 z 1 时 ， 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n z z z z z n n z + = = = − = − = − − − ( 1 z 内处处发散）。 推论二：对于幂级数 ( ) = − k 0 k ak z b ，必存在一个实数 R 0 ，使得在圆 z − b = R 内级数处处收敛，同时在圆 z − b = R 外级数处处发散。 * 这个圆 z − b = R 称为 ( ) = − k 0 k ak z b 的收敛圆，而半径 R 称为收敛半径。 ** 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见 p.11 的第二 个菱形的非常规方法更有效。 3．幂级数的收敛圆和收敛半径： 在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径： （1） 1 lim + → = n n n a a R ，这是因为，根据 D’Alembert 判别法，有 ( ) ( ) lim lim 1 1 1 1 = − − − + → + + → n n n n n n n n a a z b a z b a z b 时级数收敛。因此得 1 lim + → − = n n n a a z b R . （2） n n n a R 1 lim → = ，这是因为，根据 Cauchy 判别法，有 lim ( − ) = − lim 1 → → n n n n n n n a z b z b a 时级数收敛。因此得 n n n a z b R 1 lim → − = . 4．幂级数 ( ) = − k 0 k ak z b 在收敛区域内的性质： ◆ 在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。[Abel theorem]. ◆ 和函数在收敛圆内解析。[因幂级数的每一项都是解析函数，由 Abel 定理知幂
athematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛,再由 Weierstrass定理知其解析] ◆和函数在收圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明 ∑a(-byd=∑a(=-y=∑a,=-by-(a-b] d ak ∑ak(=-b)2=∑a1(k+1 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可 例:设幂级数∑Cnz"的收敛半径为R,求下列幂级数的收敛半径。 (1)ncn”(k为实数);(2)(2"-1kn 解:(1)an=n‘cn, R=lim =lm =Im R n+1)c (2"-1 R2=lim lim 四扣2-2 注:幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的,因此, 逐次求积分和导数任意次 ②收敛圆内是解析函数,因而可求收敛半径。(即,p.1l的第二个菱形) 、解析函数的 Taylor级数展开( Expand to the Taylor series) 前面我们看到,一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数(虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性)。现在,我们要提一个相反的问题 ( inversion problem):如何把一个解析函数表示成幂级数? 1.解析函数的 Taylor级数:(有限远常点附近的级数展开)
Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由 Weierstrass 定理知其解析] ◆ 和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。[同上证明] ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = = − − − + − = − = 0 1 0 1 0 0 1 d d 0 0 k k k k k z z k k z z k k k z b z b k a a z b z a z b z ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 1 1 1 0 d d d d 1 . k k k k k k k k k k k k z b a z b a z z a k z b a k z b = = − + = = − − = = − = + − ◆ 积分和求导后级数的收敛半径不变。[直接求出收敛半径即可] 例：设幂级数 n=0 n n c z 的收敛半径为 R ，求下列幂级数的收敛半径。 （1） n=0 n n k n c z （ k 为实数）； （2） ( ) = − 0 2 1 n n n n c z . 解： （1） n k n a = n c ， ( ) 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 k k n n n n k n n n n n n n n a n c c c n R R a n c c n c → → → → + + + + = = = = = + + . （2） (2 1 , ) n n n a c = − ( ) ( ) 2 1 1 1 1 lim lim lim . 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n R R a c c → → → = = = = − − 注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此， ① 逐次求积分和导数任意次； ② 收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11 的第二个菱形） 三、解析函数的 Taylor 级数展开(Expand to the Taylor series) 前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我 们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题 （inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？ 1. 解析函数的 Taylor 级数:（有限远常点附近的级数展开）
ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU Cauchy-Taylor定理:设函数f()在圆域D:|-b<R内是解析的,则f(c) 可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数f(-)=∑a(=-b),其中 421%<(5)d=r"(k=012…),并且这样的展开是唯的 证明:我们要证明对任何R1<R(D内任 意一闭区域),所展开的幂级数在闭圆域 Dl:-b≤R上是绝对且一致收敛的。 在R和R之间取一圆CR 5-b=R,根据 Cauchy积分公式,有 f(二)= f(5) mids 其中二是闭圆域|-b≤R内的任一点。 因为 Z(ZK1 1-Z k=0 5-=(5-b)-(=-b)5-b1-g-b b(5-b 其中65B<1,即级数∑(B是收敛的。根据mm数M判别法, R e(R 级数 b是绝对且一致收敛的。那么(=-b )也是一致收敛 的[一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数],因此可以 逐项积分,于是 f(二)= 2ri s 2丌i (-b)+/(5d5 ∫(5) 2i (=-b)=∑a1(=-b), k=0
Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 Cauchy-Taylor 定理： 设函数 f (z) 在圆域 D：z − b R 内是解析的，则 f (z) 可以在 D 内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数 ( ) = = − 0 ( ) k k f z ak z b ，其中 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) d 0,1,2, 2 ! k k k C f f b a k i k b + = = = − （ ） ，并且这样的展开是唯一的。 证明：我们要证明对任何 R1 R （D 内任 意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1： b R1 z − 上是绝对且一致收敛的。 在 R1 和 R 之间取一圆 R1 C ： b R1 − = ，根据 Cauchy 积分公式，有 − = 1 d ( ) 2 1 ( ) CR z f i f z ， 其中 z 是闭圆域 b R1 z − 内的任一点。 因为 0 1 (| | 1) 1 k k Z Z Z = = − ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 , 1 k k z b z b z b b b b z b b = − = = = − − − − − − − − − − 其中 1 1 1 − − R R b z b ，即级数 = 0 1 1 k k R R 是收敛的。根据 Weierstrass 的 M 判别法， 级数 = − − k 0 k b z b 是绝对且一致收敛的。那么 ( ) ( ) ( ) 0 1 f b z b k k k − − = + 也是一致收敛 的 [一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数]，因此可以 逐项积分，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( )d 2 2 1 ( ) d , 2 R R R k k C C k k k k k k k C f z b f z f i z i b f z b a z b i b + = + = = − = = − − = − − −