江画工太猩院 三、可微的条件 定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x 证(1)必要性:f(x)在点可微, y=A·△x+0(△x), My=At m 0(△x) A 则im4=A+Iim 0(△x) △x→0△ y △ 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x)
江西理工大学理学院 三、可微的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在点 处可导 且 = ′ 定理 函数 在点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , Q f x 在点 x 0可微 ∴ ∆y = A⋅ ∆x + o ( ∆x), , ( ) x o x A x y ∆ ∆ = + ∆ ∆ ∴ x o x A x y x x ∆ ∆ = + ∆ ∆ ∆ → ∆ → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x 0 即函数 f x 在点 x 可导 且 A = f ′
江画工太猩院 (2)充分性:函数f(x)在点x0可导, △ im+=f(x),即 Ax→0 ∫(x0)+α 从而y=f(x0)△x+0·(△x,:a→0(△x→>0), =f(x0),Ax+0( 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A ∴可导兮可微.A=f(x) 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或矿f(x),即=f(x)△x
江西理工大学理学院 (2) 充分性 ( ) ( ), 0 从而 ∆y = f ′ x ⋅ ∆x + α⋅ ∆x ( ) , = ′ 0 + α ∆∆ f x xy 即 ( ) , Q函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x xy x = ′ ∆∆ ∴∆ → Qα → 0 (∆x → 0), ( ) ( ), 0 = f ′ x ⋅ ∆x + o ∆x ( ) , ( ) . Q函数 f x 在点 x0可微 且 f ′ x0 = A . ( ). x0 ∴可导 ⇔ 可微 A = f ′ , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = ′ ∆ = 微分 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的
江画工太猩院 例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解:!=(x2)△x=3x2Ax 3x2△x_,=0.24. x=2 △r=0.02 △x=0.02 通常把自变量x的增量Ax称为自变量的微分, 记作,即=Ax y=∫(x) =f'(x) 即函数的微分小与自变量的微分之商等于 该函数的导数.导数也叫"微商
江西理工大学理学院 例1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = ∆x = 时的微分 dy = (x )′∆x 3 Q 3 . 2 = x ∆x 0.02 2 2 0.02 2 3 ∆ = = ∆ = ∴ = = ∆ x x x dy x x x = 0.24. , . , dx dx x x x = ∆ ∆ 记作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 ∴dy = f ′(x)dx. f (x). dxdy = ′ 该函数的导数. 导数也叫"微商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
例2设y=(於中的 江画工太猩院 dx d(x)d(x) 解 dy dsin(x) cosx'd(x) cosr.2x d 2 2x x d dy dsin(x cosx d() coSX sIn(x cosr alr d(x3)d(x3)l(x3) cosx. 2xdx 2 —cos式 3x23x
江西理工大学理学院 例2 ( ) , ( ) sin( ), , 2 3 2 d x dy d x dy dx dy 设y = x 求 解 dx x d x dx d x dx dy [sin( )] cos ( ) 2 2 2 = = 2 2 2 2 2 2 2 cos ( ) cos ( ) ( ) [sin( )] ( ) x d x x d x d x d x d x dy = = = ( ) cos ( ) ( ) [sin( )] ( ) 3 2 2 3 2 3 d x x d x d x d x d x dy = = 2 2 2 cos 3 2 3 cos 2 x x dx x x xdx = ⋅ = 2 2 2 cos cos 2 x x dx x xdx = ⋅ =
江画工太猩院 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当匀是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时, M y y=f(r) 就是切线纵坐标 对应的增量. x0x0+△x 当很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN
江西理工大学理学院 四、微分的几何意义 y = f ( x ) 0 x M N T dy ∆y o(∆x) ） x y o α ∆x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy ∆y x + ∆x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 ∆ 很小时 在点 的附近